5. Метод искусственных переменных

Рассмотрим задачу линейного программирования, в которой огра­ничения имеют вид AX < P₀. Если все Ь.> 0, /= 1,2,...,т, то свободные векторы, образующие единичную подматрицу, составляют начальный базис, а соответствующие им переменные - начальное базисное реше­ние.

В более общем случае, когда ряд неравенств имеет знак «больше или равно», например, a_nx+a_j7x+...+а.х_п> Ь., і- 1, 2,..., т, для приве­дения их к стандартной канонической форме свободные переменные надо вычесть. Тогда расширенная форма задачи имеет вид

O₁₁X₁ +а₁₂х₂+а_их_п-1х_п+1+0х_п+2+...+0х_я+т= Ь_Х\

O₂₁X₁ +O₂₂X₂ +... + O_2nX_n + 0х„₊₁ -1х_п+2+...+0х_п+т= Ь₂; (10.9)

^aMi^xI^+ашг^хг +■■■ ^{+ а}_тп^хп + 0*„₊₁ +--IJv_fra =Ь_т.

Свободные переменные {^х_п+1,х_п+2,...,х_п+т} уже нельзя использовать в качестве начального базиса, так как х ^ < 0, х , < 0,..х <0.

^? л+1 ’ п+2 ’ ’ п+т

С целью формирования начального базиса в уравнения (10.9) допол­нительно ВВОДЯТ искусственные переменные JC ₊ , ^х_п+т+2JC„_+m+t, которые не имеют ничего общего с реальной задачей, и должны быть выведены из базиса как можно скорее. Чтобы гарантировать их быст­рое выведение после начала итераций для задач максимизации, искус­ственным переменным в целевой функции приписывают очень большие по величине отрицательные коэффициенты (-A/), где М»с, (/=1,2,..., п). В случае решения задач минимизации искусственные переменные вво­дят в целевую функцию с большими по величине положительными ко­эффициентами (+AT).

Первая итерация. Элементы индексной строки вычисляем еле-

Знаки вводимых в ограничения искусственных переменных х , *_n+m+2’ ■ • • ’ ^х_п+т+к должны совпадать со знаками соответствующих сво­бодных членов. Искусственные переменные образуют начальное ба­зисное решение. Применив симплекс-метод, решают задачу по выве­дению из базиса всех искусственных переменных. Если доказано, что от искусственных переменных избавиться нельзя, то это означает, что задача не имеет решения, т.е. ограничения задачи противоречивы.

дующим образом: а_ш = Ja_ilC_i - с,; і=1,2,3 означает номер соответству-

„ /“1 ющеи строки

Рассмотрим пример решения задачи линейного программирования с использованием метода искусственных переменных.

Требуется минимизировать линейную форму вида

Hiin f(X) = min(15jc, + 33х₂) при ограничениях

3*1 + 2х_г > 6,

6х, + х_г > 6,

X₂ >1,

X₁, х₂ >0.

Вводя свободные переменные JC₃, JC₄, JC₅ приходим к расширенной форме задачи

Зх, +2х_г ~х₃ =6,

■ бх, +X₂ - х₄ =6,

X₂-X₅=L

Переменные Jc₃, jc₄, Jc₅ образуют недопустимое базисное решение X₃₆= -6 < О, X₄₆= -6 < 0, X₅ = - 1 < 0,

поэтому вводим в ограничения и в целевую функцию искусственные пе­ременные jc₆, X_v JC_g. Получим следующую запись задачи:

min{l5x, + 33х₂ + Afx₆ + Afx₇ + Afx₈),

3xj + 2х₂ - X₃ + х₆ = 6,

6х, +X₂-х₄ +х₇ =6,

^хг~^х5^+х»=¹-

Очевидно, начальное базисное решение х₆ =6, X₇= 6, х₈* = 1. Поскольку A₆, A₇, A₈ образуют единичный базис, а все а.₀> 0, то для решения применим метод симплекс-таблиц.

Исходная таблица имеет следующий вид (табл. 10.6).

			15	33	0	0	0	M	M	M
	в,	Ao	Ai	Аг	Аг	Ai	As	At	A1	As
M	Xe	6	3	г	-1	0	0	1	0	0
M	Xl	6	б	1	0	-1	0	0	1	0
M	х»	1	0	1	0	0	-1	0	0	1
		13М	9М-15	4М-33	-M	-M	-M	0	0	0

Таблица 10.6

т

^aOi=X^cZ^xIi^-cI⁼X^cI^xI^-cI+ 6M + OM-15= 9М -15

‘*h

«02 = X^с.*.2 -C₂ = IM + IM + IM -33 = AM - зз;

Js

, вычтем ее из последней строки. Полу-

^Я03 - X ^С‘^ХИ ^{— С}3 ^{— —}^ ’ «04 ~ * «05 ^{= —}^' «06 ⁼ «07 ^{= а}о* ⁼ 0 ’

«00 = Х^с/^х. = 6М+6М+1М = 13М.

iej*

Поскольку решается задача минимизации, то направляющий стол­бец определяют по наибольшему положительному элементу индексной

строки: a_0j =ш{а₀₁/а₀₁ >0}. Направляющий столбец -^₁; направля­ющая строка - вторая. Выполним один шаг преобразования. Разделим направляющую строку на направляющий элемент а_7] = 6. Умножив пре­образованную направляющую строку на 3, вычтем ее из первой. Тре­тья строка остается без изменений, поскольку элемент направляюще­го столбца для нее равен нулю. Затем, умножив преобразованную на­правляющую строку на (9Л/-15), вычтем ее из индексной. В результа­те получим табл. 10.7.

Таблица 10.7

Ci			15	33	0	0	0	M	M	M
	Bjt	Ao	A1	A2	Aj	Ai	As	Аб
M	Xe	3	0	1І 2	-1	1 2	0	1	1 2	0
15	X1	1	1	1 6	0	1 6	0	0	1 6	0
M	Xe	1	0	1	0	0	-1	0	0	1
		4М+15	0	|м-зоі 2 2	-M	М_ 15 2 ~ 6	-M	0	5->м 2 2	0

Вторая итерация. Так как а₀₂ =^M -30> a_0j(j *2), т.е. являет­ся максимальным элементом из всех элементов индексной строки, то направляющий столбец - A₂; направляющая строка - третья. Направ­ляющий элемент а_%2= 1.

Выполним шаг симплекс-преобразования. Умножив направляющую

строку на 1-, вычтем ее из первой строки. Затем, умножив направля-

2

ющую строку на -, вычтем ее из второй и, наконец, умножив направ- 6

ляющую строку на 1_ 3Q.¹ чим табл. 10.8

Таблица 10.8

Cl			15	33	0	0	0	M	M	M
	Br	Ao	Ax	A2	Ay	A4	As	Аб	Ai	■^8
M	Xb	1І 2	0	0	-1	1 2	1І 2	1	1 2	-j
15	Х\	5 6	1	0	0	1 6	1 6	0	1 6	і ”б
33	X2	1	0	1	0	0	-1	0	О	і
		-M+45^ 2 2	0	0	-M	M 15 2 6	3 1 -M-30- 2 2	0	2 2	—М+30^ 2 2

0. 1

Третья итерация. Поскольку а_а5=-M -30— > a_0/(j * 5), то направ­ляющий столбец - A₅. Направляющая строка - первая, направляющий

элемент а₆₅ = І-j. Выполнив очередной шаг симплекс-преобразования, выведем из базиса последнюю искусственную переменную х₆ и введем

*5'

Таким образом, приходим к таблице следующего вида (табл. 10.9).

Таблица 10.9

Ci			15	33	0	0	0	M	M	M
	Bx	Ao	A1	A1	Аз	A4	As	At	Ai	Ag
0	XS	1	0	0	2 3	1 3	1	2 3	1 3	-1
15	Xx	4 6	1	0	1 9	2 9	0	1 9	2 9	0
33	X2	2	0	1	2 3	1 3	0	2 3	1 3	0
		76	0	0	-20І	46 6	0	S I	46 M 6 2	-M

Четвертая итерация. Обратим внимание, что в этой таблице все искусственные переменные выведены из базиса. Направляющий стол­бец -A₄, направляющая строка - первая, направляющий элемент а₁₄ = і. Выполнив еще один шаг симплекс-преобразования, получим табл. 10.10.

Таблица 10.10

Ci			15	33	0	0	0	M	M	M
	в,	Ao		Лг	Аг	A4	As	At	Ai	Ag
0	X4	3	0	0	-2	1	3	2	-1	—3
15	Xl	4 3	1	0	1 3	0	2 3	1 3	0	2 3
33	Xl	1	0	1	0	0	-1	0	0	1
		53	0	0	-5	0	-23	5-М	M 2	23-M

Поскольку в индексной строке все оценки a_Q.< 0, то найдено опти-

4

мальное решение jc, = -,х, =I_jX_i =3.

* 1 опт ^ ’ 2 от ’ 4 опт

Искомое значение целевой функции O₀₀= min Z = 53.

Проверим это: min( 15^,+33^) = ISx_{1 опт} +33 X_{2 опт} = 53.

при условиях J

Таким образом, рассмотренный метод позволяет решать задачи линейного программирования в общем случае, когда имеются ограниче­ния в виде неравенств с различными знаками: как «больше или равно», так и «меньше или равно».

Х=(х_1Ух₂,...,х_п)е D, (10.12)

где D - некоторое множество R^{n).

Если множество D является конечным или счетным, то условие (10.12) - это условие дискретности, и данная задача является задачей дискретного программирования (ЗДП). Чаще всего условие дискретно­сти разделено по отдельным переменным следующим образом:

X_jE D_jJ = 1,2,..., и,

где D_j- конечное (или счетное) множество.

Если вводится ограничение х. - целые числа (j = 1,2,..., и), то при­ходят к задачам целочисленного программирования (ЦП), которое яв­ляется частным случаем дискретного программирования.

В задачах дискретного программирования область допустимых решений является невыпуклой и несвязной. Поэтому отыскание реше­ния таких задач сопряжено со значительными трудностями. В частно­сти, невозможно применение стандартных приемов, используемых при замене дискретной задачи ее непрерывным аналогом, состоящих в даль­нейшем округлении найденного решения до ближайшего целочисленного. Например, рассмотрим следующую ЗЛП: найти max (*,-Зх₂ +Зх₃)

Ix_l + х₂ - х_} < 4;

Ax_x - Зх₂ < 2;

[—3jc, + Ix₂ + X₁ < 3,

где X₁, X₂ X₃ > 0,X_j- целые числа (/' = 1,2, 3). Игнорируя условие цело- численности, находим оптимальный план симплекс-методом: