Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Tom_2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.02.2016

Размер:

3.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 4932 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 > Следующая >>>

Доказательство. Действительно,

. ¥

eαt f (t) = ò f (t)e-( p-α )t dt = F( p −α). □

× 0

4) Запаздывание. Для любого τ > 0 имеем f (t −τ )=e- pτ F( p) ,

т.е. запаздывание оригинала на положительную величину τ приводит

к умножению изображения оригинала без запаздывания на e- pτ . Доказательство. Так как f (t −τ ) = 0 при t < τ , то делая замену

переменных t −τ = t1, получим

	.	¥	- pt		¥		- p(t1+τ )		- pτ
	f (t −τ ) =×	ò f (t −τ )e	- pt	dt = ò		f (t1)e	- p(t1+τ )	dt1 = e	- pτ	F( p).
	f (t −τ ) =×	ò f (t −τ )e		dt = ò		f (t1)e		dt1 = e		F( p).
		τ			0
5)	Дифференцирование					оригинала.		Если		функции
f ′(t), f ′′(t),..., f (n) (t) являются оригиналами и								f (t), f ′(t),..., f (n-1) (t)
непрерывны, то

f ′= pF( p) − f (0),

f ′′(t) = p2 F( p) − pf (0) − f ′(0),

f ′′′(t) = p3F( p) − p2 f (0) − pf ′(0) − f ′′(0),

.....................................................................

	.		− ... − f (n-1) (0),
f (n) (t) = pn F( p) − pn-1 f (0)			− ... − f (n-1) (0),
	×
где под f (k) (0) понимается правое предельное значение							lim f (k) (t) .
							t®+0
Доказательство. В самом деле, переходя к изображениям и
интегрируя по частям, получаем
.	¥			¥	¥
.	¥			¥	¥
f ′(t) =×	ò f ′(t)e- pt dt = ( f (t)e- pt		)	0 + pò f (t)e- pt dt.
	0				0
В силу того, что Re p = s > s , имеем		f (t)e- pt				≤ Me(s-s0 )t	и подстановка
В силу того, что Re p = s > s , имеем		f (t)e- pt				≤ Me(s-s0 )t	и подстановка
	0

t = ∞ в первый член дает нуль, подстановка же t = 0 дает, очевидно, − f (0) (под f (0) следует понимать правое предельное значение,

левое всегда равно нулю); второй член равен pF( p) и первая формула доказана. Применив эту формулу дважды, получим

314

¢¢

¢ .

(t) = ( f (t)) = p( pF( p) - f (0)) - f (0)

= p

и так далее. □

F( p) - pf (0) - f (0),

6) Дифференцирование изображения. Дифференцированию

изображения соответствует

умножение

его оригинала

на

−t , т.е.

(n)

( p) =(-1)

f (t) .

F ( p) =- tf (t) . Обобщение:

Доказательство. Действительно, т.к. F( p) является в

полуплоскости

Re p > s0

аналитической

функцией,

то

ее

можно

дифференцировать (возможность дифференцирования под знаком интеграла вытекает из того, что все рассматриваемые интегралы сходятся равномерно относительно р в любой полуплоскости

- pt

Re p ³ a > s0 )

по

р,

получим

dt,

F ( p) = -òtf (t)e

- pt

(n)

- pt

¢¢

f (t)e

dt,

...,

( p) = (-1)

òt

f (t)e

dt, что

F ( p) = òt

равносильно приведенной формуле дифференцирования изображения.

□

t	.	F( p)
	.	F( p)
7 ) Ин те г ри ро в ан ие о ри г ина л а . ò f (τ )dτ =			, т . е .
7 ) Ин те г ри ро в ан ие о ри г ина л а . ò f (τ )dτ =		p	, т . е .
0	×	p
0

интегрированию оригинала от 0 до t соответствует деление его

и з о б р а ж е н и я			н а	p .
				t
Доказательство. Легко проверить, что функция g(t) = ò f (τ )dτ
вместе с	f (t)			0
вместе с	f (t)	является оригиналом, то есть удовлетворяет условиям
1) – 3)	из	п. 10. Тогда (см. свойство 5,	g(0) = 0 )	получим

f (t) = g¢(t) = pG( p). Таким образом, для изображения f (t) имеем

F( p) = pG( p) , откуда G( p) = F(pp) . □

315

8) Интегрирование

¥	.	f (t)
сходится, то ò
	F(z)dz =
		t
p	×

изображения. Если интеграл ò F(z)dz

, т.е. интегрированию изображения от p до

∞ соответствует деление его оригинала на t. Доказательство. В самом деле, имеем

¥	¥	¥
ò F(z)dz = ò dzò f (t)e-zt dt.
p	p	0

Предполагая, что путь интегрирования ( p;∞) весь лежит в полуплоскости Re p ³ a > s0 , получим оценку внутреннего интеграла

¥		¥
¥		¥
ò f (t)e-zt dt		£ M òe-(a-s0 )t dt,
0		0

из которой ясна его равномерная сходимость относительно р. Поэтому можно изменить порядок интегрирования:

¥	¥	¥	¥	f (t)
ò	F(z)dz = ò	f (t)dt òe-zt dz = ò			e- pt dt.

p	0	p	0	t

Полученное равенство равносильно доказываемой формуле. □

9) Умножение изображений. Произведение двух изображений также является изображением, причем

.	t
F( p) ×G( p) =×	ò f (τ )g(t -τ )dτ .	(2)
	0

Доказательство. В самом деле, интеграл в правой части формулы (2) является оригиналом: свойства оригинала 1) и 2) очевидны (см. п. 10), а для доказательства свойства 3) заметим, что, если взять число s0 равным наибольшему из показателей роста f (t) и g(t) , то

	t		t
	ò f (τ )g(t -τ )dτ	< M	òes0τ es0 (t-τ )dτ	= Mtes0t .
	0		0
Отсюда и следует, что интеграл в (2) не превосходит
некоторой константы, умноженной на e(s0+ε )t ,				где ε сколь угодно

малое положительное число.

Рассмотрим теперь изображение интеграла из (2)

316

	t		.	¥	t
	ò f (τ )g(t -τ )dτ =×			òe- pt dtò f (τ )g(t -τ )dτ.
	0			0	0
	Справа здесь стоит двукратный интеграл,
	распространенный		на сектор S плоскости			Otτ
	(рис.3),	ибо	при		фиксированном	t
	интегрирование по τ			ведется в пределах от 0 до
	τ = t , а затем изменяется от 0 до ∞ .
Рис. 3	τ = t , а затем изменяется от 0 до ∞ .
Рис. 3	Так как при		Re p > s0 этот двукратный
	Так как при		Re p > s0 этот двукратный

интеграл абсолютно сходится, то в нем можно изменить порядок интегрирования, тогда получим (заменяя t на t1 = t -τ )

t			.	¥	¥
ò f (τ )g(t -τ )dτ			=×	ò f (τ )dτ òe- pt g(t -τ )dt =
0	¥		¥	0	τ
	¥	f (τ )e- pτ dτ	¥			.
=						.
=	ò		ò	g(t )e- pt1 dt = F( p)G( p),
	ò		ò	1	1	×
	0		0

что и требовалось доказать. □

Интеграл в правой части формулы (2) называется свёрткой функций f (t) и g(t) , изображается символом f (t)* g(t) , т.е.

f (t)* g(t) = ò f (τ )g(t -τ )dτ.

Можно убедиться, (положив t −τ = u ), что свёртывание обладает свойством переместительности, т.е. f (t)* g(t) = g(t)* f (t) .

Упражнение 1. Доказать свойство переместительности для свертки функций.

Итак, умножение изображений соответствует свертыванию

оригиналов, т.е. F( p)G( p) = f (t)* g(t)

Пользуясь этой формулой и правилом дифференцирования оригинала, получим так называемый интеграл Дюамеля:

×	d		d	t
pF ( p)×G ( p)=	d	( f * g ) =	d	ò f (τ ) g	(t -τ )dτ.
pF ( p)×G ( p)=		( f * g ) =		ò f (τ ) g	(t -τ )dτ.
× dt			dt	0
Выполняя в этом интеграле дифференцирование, получим
.			t
×			ò	¢	-τ )dτ .
pF( p) ×G( p) = f (t)g(0) +				f (τ )g (t	-τ )dτ .	(3)
			0
Формулу (3) называют формулой Дюамеля.

317

Формулу Дюамеля можно применять для определения оригиналов по известным изображениям.

10) Умножение оригиналов.

	×	1	γ +i¥
f (t) g (t)=		1	ò	F (z)G ( p - z)dz,
f (t) g (t)=		2π i		F (z)G ( p - z)dz,
	×
			γ -i¥
где путь интегрирования – вертикальная прямая Re z = γ > s0 .
Доказательство.	Действительно,				произведение	f (t)g(t) ,
очевидно, удовлетворяет	условиям 1) –				3) для оригиналов. Его

. ¥

изображение f (t)g(t) = ò f (t)g(t)e- pt dt. Пусть оригиналы f (t) и g(t)

× 0

имеют, соответственно, показатели роста s1 и s2 .

Возьмем γ > s1 и заменим						f (t)	по формуле обращения:
	.	1		¥ ìγ +i¥			ü
	.	1			ï		ï
f (t)g(t) =				ò í ò F(z)ezt dzýg(t)e- pt dt =
f (t)g(t) =		2πi		ò í ò F(z)ezt dzýg(t)e- pt dt =
	×	2πi			ï		ï
				0 îγ -i¥			þ
	1		γ +i¥		ì	¥	ü
	1				ï		ï
=			ò		íF(z)ò g(t)e-( p-z)t dtýdz
=	2πi		ò		íF(z)ò g(t)e-( p-z)t dtýdz
	2πi		γ -i¥		ï	0	ï
			γ -i¥		î	0	þ
(изменение порядка интегрирования можно обосновать).
Если считать еще Re p > s2 + γ ,						то будем иметь Re ( p - z) > s2 , ибо

Re z = γ , и внутренний интеграл можно заменить через G( p − z). Формула умножения оригиналов доказана. □

Упражнение 2. Обоснуйте изменение порядка интегрирования в доказательстве свойства 10).

Свойства преобразования Лапласа существенно облегчают задачу нахождения изображений для большого числа разнообразных функций, а также задачу отыскания оригиналов по их изображениям.

Пример 3. Найти изображения функций:

а) sinωt, cosωt ;

б) sin 2t cos5t ;

в) e-3t

sinπ t .

Решение. а) Пользуясь свойством линейности и формулой,

полученной в примере 2б), находим:

sinωt =

eiωt - e-iωt .

1 æ 1

+ ω2

2i è p - iω

p + iω ø

т.е. sinωt =

. Аналогично получаем формулу cosωt =

p2 + ω2

+ ω2

318

б) Сначала представим произведение sin 2t cos5t

в виде разности

синусов:

sin 2t cos5t = 1

(sin 7t - sin3t) , а затем используем свойства

линейности и подобия: sin 2t cos5t =

p2 +

p2 + 49

в)

Так

как

sinπ t =

то

по

свойству

смещения

p2 + π 2

. □

e-3t sinπ t =

3)2 + π 2

× ( p

Пример 4. Найти оригинал по его изображению

а) F( p) =

2 p - 5

; б) F( p) =

; в) F( p) =

2 p2

p2 - 6 p +11

( p2 + ω2 )2

( p2 +1)2

Решение. а) Преобразуем данную дробь так, чтобы можно было

воспользоваться свойством смещения

2 p - 5

2( p - 3) +1

p - 3

F( p) =

= 2 ×

( p - 3)2 + (

p2 - 6 p +11 ( p - 3)2 + 2

=2e3t cos

2t +

e3t sin

2t.

б) Так как F( p) =

sinωt , то

p2 + ω2

+ ω2

. t

F( p) = ò

sinωτ ×

sinω(t -τ )dτ =

ò(cosω(2τ - t) - cosωt )dτ =

2ω

× 0 ω

t ö

×sinω(2τ - t)

- cosωt ×τ

÷ =

2ω2

2ω

0 ÷

(sinωt -ωt cosωt ),

sin

ωt - t cosωt ÷

2ω2

2ω3

(sinωt -ωt cos

ωt) .

т.е.

( p2 + ω2 )2

× 2ω3

319

2 p

в)

Так

как

= 2 p ×

=sin t ,

( p2 +1)2

p2 +1 p

2 +

p2 +1

=cost , то на основании формулы Дюамеля (3) имеем

p2 +1 ×

p .

= t cost + sin t . □

2 p ×

=2òcosτ cos(t -τ )dτ + 0

+1 ×

30. Таблица оригиналов и изображений.

Приведем таблицу

основных оригиналов и их изображений, которые часто встречаются при решении различных задач.

Таблица 1

∞

№ п/п

Оригинал f (t)

Изображение F( p) = ò f (t)e− pt dt

eαt

p −α

sin ωt

p2 +ω2

cosωt

p2 +ω2

sh ωt

p2 −ω2

ch ωt

p2 −ω2

αt

sin ωt

( p −α)2 +ω2

αt

cosωt

p −α

( p −α)2 +ω2

αt

sh ωt

( p −α)2 −ω2

αt

ch ωt

p −α

( p −α)2 −ω2

320

tn (n – целое)

pn+1

eαt ×tn

( p -α)n+1

t sin ωt

2ω p

( p2 +ω2 )2

t cosωt

p2 -ω2

( p2 +ω2 )2

t sh ωt

2ω p

( p2 -ω2 )2

t ch ωt

p2 +ω2

( p2 -ω2 )2

Продолжение таблицы 1

eαt t sin ωt

2ω( p -α)

(( p -α)2 +ω2 )2

αt

t cosωt

( p -α)2 -ω2

(( p -α)2 +ω2 )2

(sin ωt -ωt cosωt)

( p2 +ω2 )2

2ω3

(ωt ch ωt

-sh ωt)

( p2 -ω2 )2

2ω3

sin(ωt ±ϕ)

ω cosϕ ± p sin ϕ

p2 +ω2

cos(ωt ±ϕ)

p cosϕ m ω sinϕ

p2 +ω2

e−

sin

π t

e−

cos

π t

40. Теоремы разложения. Обратное преобразование Лапласа.

Рассмотрим две теоремы, называемые теоремами разложения, позволяющие по заданному изображению F( p) находить

соответствующий ему оригинал f (t) .

321

Теорема

Если функция F( p)

в окрестности точки

p = ∞

может быть представлена в виде ряда Лорана

F( p) = å

+ ... ,

n=1 pn

то функция

tn-1

f (t) = åcn

= c1 + c2t + ... (t > 0)

(n -1)!

n=1

является оригиналом, имеющим изображение F( p) , т.е.

tn-1

F( p) = å

åcn

= f (t).

-1)!

n=1 pn

n=1

Доказательство. Ряд å

сходится в некоторой окрестности

n=1 p

существует такое R, что этот ряд

бесконечно удаленной точки, т.е.

сходится при

> R . Тогда ряд åcn zn =ψ (z)

сходится при

n=1

Пусть R

. Ряд для ψ (z)

сходится в замкнутом круге

£ R ,

сумма его непрерывна в этом круге и поэтому ограничена:

ψ (z)

< M.

Используя оценки Коши коэффициентов ряда Тейлора

и предполагая, что 0 < t < ∞ , получаем

t ön-1

cnt

n-1

< å

R1 ø

1 .

(n -1)!

n=1

Следовательно, ряд для

f (t)

сходится при 0 < t < ∞ и функция

f (t)

является

оригиналом.

Применяя

теперь

формулу tn =

pn+1

tn-1

получим f (t) = å

. □

n=1

(n -1)!

322

Теорема 2. Если F( p) =	A( p)	– правильная рациональная
	B( p)

дробь, знаменатель которой B( p)	имеет лишь простые корни (нули)
p1, p1,..., pn , то функция
n A( p )
f (t) = å		k	×epkt			(4)
	¢
k=1 B ( pk )
является оригиналом, имеющим изображение F( p) .
Доказательство. Отметим,	что			дробь	A( p)	должна быть
					B( p)
		A( p)
правильной (степень многочлена				ниже	степени многочлена

B( p) ); в противном случае не выполняется необходимый признак

существования изображения

lim F( p) = 0

(см. п. 10), т.е. F( p) =

A( p)

B( p)

p→∞

не может быть изображением.

A( p)

Разложим правильную рациональную дробь

на простейшие:

B( p)

F( p) =

A( p)

+ ... +

B( p)

p - p

где ck (k = 1,2,...,n)

– неопределенные коэффициенты. Для определения

коэффициента c1 этого разложения умножим обе части этого равенства почленно на ( p - p1) :

A( p)

æ c2

×( p

- p1) = c1

+ ( p - p1)ç

+ ... +

÷ .

B( p)

p - p

p ® p1 ,

n ø

Переходя в этом равенстве к пределу при

получаем

c = lim

A( p)

×( p - p ) =

ù = lim

A( p)

A( p1)

p→ p1

B( p)

B¢( p )

0û p→ p1 B( p) - B( p1)

A( p1)

p - p1

A( pi )

Итак, c =

. Аналогично находим c

i = 2,..., n .

B¢( p1)

B¢( pi )

Подставляя найденные значения c1,c2 ,...,cn

в разложение F( p) ,

получим

A( p)

A( p1)

A( p2 )

A( pn )

F( p) =

+ ... +

B( p)

p - p1

B¢( p2 )

p -

B¢( pn )

B¢( p1)

p - pn

Так как (см. пример 2 б))

323

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 4932 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.07.201945.06 Кб3The Baltic Sea Basin .doc
#
01.07.20253.53 Mб0therapy.doc
#
01.07.202542.51 Кб0titulny_list_SK_Gras.docx
#
01.07.202511.33 Mб0TOE_Chast1_zept_lab.doc
#
01.03.2025351.62 Кб2tolkanica_Z17_V13_PF_Gr3.docx
#
18.02.20163.2 Mб65Tom_2.pdf
#
01.04.2025579.07 Кб1Torgovo-tekhnologichesky_protsess.doc
#
01.07.202575.26 Кб0TPPR_FZO_BUKhG_UChETVOPROSY_na_ekzamen (1).doc
#
01.03.202581.48 Кб0tpra_26-32.docx
#
01.05.202543.01 Кб0Transport mode characteristics (from the handbo...doc
#
28.09.2019184.55 Кб5Trebovania.rtf