8. Конечные разности и интерполяционные формулы Ньютона с конечными разностями.

Пусть ф-ия на отрезкезадана табл.с равноотстоящими узлами. Конечные раз-типорядка k опр. рекуррентно через конечные раз-ти порядка_k-1 рав-ом (1). Здесь конечные раз-ти нулевого порядка берутся равными значениямфункции в узлах.Лемма. Разд. раз-ти в случае равноотстоящих узлов выр-ся ч-з конечные раз-ти по формуле (2).Доказательство. Для случая _k=1 проверяем формулу непосредственно

.

Пусть ф-ла (2) справедлива для раз-ей порядка _k-1. Т.имеем .Лемма доказана. В случае выбора в качестве узлов инт. табл. узловф-ла Ньютона с разд-ми разн-ми принимает вид(3)Заменим в ней разд. раз-ти конечными в соответствии с (2). Получим

(4). В формуле (4) сделаем замену переменной по правилу(4′). Формулу (4′) наз инт. ф-й Ньютона для инт-ия в начале таблицы или для инт. вперед. Здесь имеется в виду, что приp = 0 первый узел инт-ии совп. с начальным узлом т-цы и ост. инт. узлы расп-ся от него вниз (вперед) по таблице. В качестве узлов инт-ии возьмем теперь табличные узлы . Т. инт. формула Ньютона с разд. раз-ми при-ет вид. (5)Так как разд. разности явл-ся сим-миf-ми своих аргументов, то по формуле (2) имеем . (6)

Заменим в формуле (5) разд. р-ти конечными в соответствии с формулой (6). Получим .(7)

В формуле (7) сделаем замену переменной по пр-лу :(7′)

Ф-лу (7′) наз-ют инт. формулой Ньютона для инт-ия в конце табл. или для инт-ия назад. Здесь имеется в виду, что при первый узел инт-ии совпадает с последним узлом таблицы и остальные инт-ые узлы расп-ся от него вверх (назад) по таблице.Зам. В кач. нач. узла инт-ии обычно выб-ся табл. узел, ближайший к зад. значению аргументаx. Далее выч. . Если, в качестве инт-ых берутся табл. узлы вниз оти выч. пров-ся по инт. Ф-е Ньютона (4′) для инт. в начале таблицы. В случае когда, в кач-е инт. берутся табл. узлы вверх оти вычисления проводятся по инт. формуле Ньютона (7′) для инт-ия в конце табл.

9. Составление таблиц.

Для зад-ой ф-ии требуется постр. на отрезкет-цу. При этом постоянный шаг таблицыh должен быть выбран так, чтобы таблица допускала инт-ию многочленом степени k с заданной точностью . При решении поставленной задачи воспользуемся полученной оценкой остаточного члена инт. многочлена Лагранжа степениk по узлам :,(1) где,. Т. о., шаг т-цыh следует выбрать так, чтобы уд-лось не-во .(2)Проведем замену переменного по пр-лу. Т. не-во (2) принимает вид. Сл-но, искомое значение шага т-цыh должно уд. Не-ву (3)Здесь предп-ся, что зн-е ар-таx отрезку инт-ии. Итак, задача нах-ия искомого значения шага таблицыh сводится к задаче нахождения max ф-ии на отрезке.В случае линейной инт-ииk=1имеем. Решение уравнениядает. Т.о., т-ца допускает линейную инт-ию с заданной точностью, если ее шаг уд-ет неравенству.(4) Для ф-ииимееми приможно взять_h=0.002. В случае квадратичной интерполяции _{k = 2} имеем . Решение Ур-иядает.Получаем

. Т.о., т-ца допускает квадратичную инт-ю с заданной точностью, если ее шаг уд-ет не-ву (5) Если при квадр-ой инт-ии выбирать узлы инт-ии так, чтобы таб-ый узелбыл ближайшим кx,то .б вып. не-во илии при выборе шага нужно находить только. Поскольку, то ф-ияна отрезкемонотонно убывает. Сл-но,. В рез-те приходим к оценке шага т-цы.(6)Для ф-ииимееми прим.взять_{h= 0.02}.Т-ца ф-ии y=sinx, доп-щая кв-ую инт-ию, требует для своего хр-ия в 10 раз < объема памяти, чем т-ца этой же ф-ии, доп-ая только лин-ую инт-ию.