6. Минимиз. Оценки остаточного члена интерпол. Мн-на.

Мы знаем оценку . (1). Как видно из (1) оценка остаточного члена интепол. мн-на Лагранжа зависит от ф-ций, кот. однозначно опр-ся узлами интерп.. Поставим задачу оптим-го выбора узлов интерпол., такого выбора узлов, при котором величинапринимаетmin значение

Для решения поставленной задачи воспользуемся многочленами Чебышева, которые на отрезке представляются в тригоном. форме.(3)

Из (3) получается . Остальные многочлены Чебышева можно построить, используя рекуррентную формулу. (4)

Справедливость формулы (4) доказывается цепочкой равенств ,

,

,

.

По рекуррентной формуле (4) получается . Из формулы (4) следует, что многочлены Чебышева имеют структуру. (5).

Найдем корни многочлена Чебышева . Решаем тригонометрическое уравнение. Отсюдаили. Т.о., многочлен Чебышеваимеет на отрезкеразличных вещественных корней. (6)

Корни различны, так как функция монотонна на отрезке.

Очевидно, на отрезке значения многочлена Чебышеване превосходят единицы. Решая тригонометрическое уравнение, имеемили. Т.о., на отрезкемногочлен Чебышевапринимает значения, равные по модулю единице, вточке. (7)

Точки различны, так как функция монотонна на отрезке, и имеет место знакочередование.

Приведем коэффициент при старшей степени у многочлена Чебышева к единице и рассмотрим приведенный многочлен Чебышева . Макс-ное отклонение приведенного многочлена Чебышевана отрезкеравнои достигается в точках (7):. (8)

Теорема. Для любого приведенного мн-на степениn вып-ся неравенство .

Д-во. Допустим противное: сущ-ет приведенный мн-ен степениn, для которого вып-ся нер-во . (9)

Образуем разность и рассмотрим значения многочленастепенив точках монотонной последовательности (7):

. Здесь учтены равенства (8) и неравенство (9). Таким образом, многочлен степенименяет знак на отрезкеn раз, а следовательно, имеет на нем n корней. Отсюда следует и. Пришли к рав-ву, что противоречит (9).

Если при интерпол-ии на отрезке интерпол. мн-ном

Лагранжа в качестве набора узлов интерполяции взять множество корнеймногочлена Чебышева, то будет выполнено рав-во:и оценка (1) примет вид(10) Как следует из доказанной теоремы, эта оценка не может быть улучшена, то есть, оценка (10) является минимальной (оптимальной) оценкой остаточного члена интерпол-ного многочлена на отрезке .

Произвольный отрезок можно привести к отрезкузаменой переменного.

7. Разделенные разности и интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями.

Ф-ия назадана табл.,. Разд.раз-типорядка k опр. рекуррентно ч-з разд.раз-ти порядкар-вом

(1)

Здесь разд.раз-ти 0-го порядка совпадают со значениями функции в узлах.

Лемма. Для разд.раз-й справедливо равенство

(2)

Док-во. По методу мат. индукции. При получаем

Далее предположим, что (2) верна для всех разд. разн-й порядка включительно. Докажем, что (2) имеет место для разностейпорядка

Лемма док-на. Из нее =>, что разд. разн-ти явл. симметричными функциями своих арг-тов.

Интерполяц. многочлен Ньютона с разд. разн-ми.

Через будем обозначать интерпол. многочлен Лагранжа для ф-и,, построен. по узлам,Рассмотрим очевидное тож-во(1). Разностьесть мн-н степенис корнями,т.к. в силу инт. условий приимеем. Поэтому(2) Положим в (2)и найдем константу :. Итак, получили. Теперь (1) можно записать в виде

(3) Ф-лу (3) наз. инт. ф-лой Ньютона с разд. разностями.