71. Метод квадратур решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода.

Интегр ур-ние Фредгольма 2-го рода имеет вид: . (1)

Здесь – заданная функция, кот наз ядром интегр ур-ния;- заданная функция, кот наз. свободным членом или правой частью интегp. ур-ния; - заданное число, наз паpаметpом интегp уp-ния; - искомая функция, подлежащая опpеделению. Однородное интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода, (2)

всегда имеет тривиальное решение . Значения параметра, при кот однородное ур-ние (2) имеет нетривиальные реш, наз собственными значениями ядра, а сами нетривиальные решения – собственными функциями ядра.Для интегр ур-ния Фредгольма 2-го рода возможны две альтернативы: 1)неоднородное интегр ур-ние Фредгольма (1) имеет единственное реш. при любых правых частях; 2)оответствующее однор. ур-ние (2) имеет нетривиальные решения.

Аппроксимация интегрального уравнения системой линейных алгебраических уравнений.

Hа отpезке зададим сетку

и для каждого узла сетки pассмотpим интегpальное уpавнение (1): . (3)

В выражении (3) для вычисления интегpала воспользуемся квадpатуpной фоpмулой вида:

(4)

При использовании составной квадратурной формулы средних прямоугольников

.

При использовании составной квадратурной формулы трапеций:

.

При использовании составной квадратурной формулы парабол имеем:

.

Применение квадратурной формулы приводит к выражению , (5) откуда после отбpасывания остаточного члена получаем относительно пpиближенных значенийpешенияв узлахсистему линейных алгебраических уpавнений:

. (6)

Как следует из (5) система (6) аппроксимирует интегральное уравнение (1) в узлах сетки с погрешностью . Введем в рассмотрение матрицу B с элементамиТогда определитель системы (6) можно записать в виде. Если, то система (6) имеет единственное решение, которое можно записать в форме Крамера.

Решение проблемы собственных значений для ядра.

В случае однор интегр ур-ния (2) при решении задачи на собственные значения для ядра получаем указанным способом алгебраическое уравнениестепени, вообще говоря,относительно. Корниэтого уравнения будут приближенными значениями первыхсобственных значений ядра. Приближения для собственных векторов находятся из системы (6) прии соответствующем значении параметра.

Оценка погрешности и сходимость метода квадратур

Пусть функция непрерывна на, ядронепрерывно на декартовом произведениии числовой параметрв интегр ур-нии (1) не является собственным значением ядра. В силу альтернативы Фредгольма, ур-ние (1) имеет единственное решение. В пределе приирешениесистемы (6) существует, единственно и сходится к реш интегр ур-ния. Таким образом, при достаточно больших N можно считать, что.

При решении системы (6) имеет место вычислительная погрешность. Поэтому фактически найденные значения точно удовлетворяют системе

. (6’)

Погрешность полученного решения в узлах сетки выражается разностью . Вычитая ур-ния (6’) из уравнений (5) для погрешности получим систему. (7)

Отсюда, используя формулы Крамера

, получаем для погрешности оценку

, где .