69. Разностные схемы решения задачи Коши для уравнения гиперболического типа.

Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной задачи Коши.

Для одномерного гиперболического уpавнения:

(1)

Требуется найти функцию , которая в областиудовлетворяет диф-му уравнению (1), а на прямой- начальным условиям. (2)

Постpоение pазностной схемы

В области введем прямоугольную сетку:

.

На множестве внутренних узлов

имеем

(3)

Вторую производную по x в (3) будем аппроксимировать разностным соотношением на основании равенства:

(4)

где -1 < s < 1. Вторую производную по t в (3) будем аппроксимировать разностным соотношением на основании равенства:

(5)

где -1 <  < 1. Получение формул вида (4) и (5) для аппроксимации производных рассматривалось в п.10.1 и 11.1. Отбрасывая в (4) и (5) остаточные члены и подставляя в (3), получаем разностные (сеточные) уравнения:

(6)

Разностное уравнение (6) имеет второй порядок погрешности аппроксимации по l и по h: .

Первое начальное условие из (2) аппроксимируется точно уравнением . (7a)

Во втором начальном условии первую производную по t будем аппроксимировать разностным соотношением в соответствии с равенством

.

В результате получаем разностное уравнение

(7b)

с первым порядком аппроксимации по l:

Таким образом, построена разностная схема (6), (7), которая имеет второй порядок аппроксимации по h и первый порядок аппроксимации по l.

Разрешимость разностной схемы.

Как следует из (6), решение выражается явным образом через значения на двух предыдущих слоях:

(8)

Решение на нулевом слое определяется по формуле (7a), а затем из формулы (7b) определяется решение на первом слое:(9)

Повышение порядка аппроксимации начальных условий.

Поскольку разностное уравнение (6) аппроксимирует основное уравнение (1) со вторым порядком, желательно, чтобы и разностное начальное условие также имело второй порядок аппроксимации. С этой целью воспользуемся разложением в ряд Тейлора:

,

где 0 <  < 1. Отсюда получим

.

Так как в соответствии с дифференциальным уравнением (1)

,

то имеем

.

Следовательно, разностное уравнение

(10)

аппроксимирует второе начальное условие из (2) со вторым порядком по l:

Разностная схема (6), (7a), (10) аппроксимирует краевую задачу (1), (2) со вторым порядком как по h, так и по l. Решение на нулевом слое определяется по формуле (7a), а затем из формулы (10) определяется решение на первом слое:

. (11)

На остальных слоях решение вычисляется по формуле (8).

70. Сеточные методы решения смешанной задачи для уравнений гиперболического типа.

Для одномерного гиперболического уp-ния: (1) заданного в областинайти pешение, удовлетвоpяющее граничным условиям

(2) и начальным условиям

. (3)

Постpоение pазностной схемы

В области введем сетку с шагомпо осии шагомпо оси:

. (4)

Узлы сетки кpатко будем обозначать. Все множество узлов (4) обозначим чеpез. Дифф уp-ние (1) будем pассматpивать на множестве узлов:

(5)

Вторую производную по x в (5) будем аппроксимировать разностным соотношением на основании равенства:

(6)

где -1 < s < 1. Вторую производную по t в (4) будем аппроксимировать разностным соотношением на основании равенства:

(7)

где -1 <  < 1. Отбрасывая в (6) и (7) остаточные члены и подставляя в (5), получаем разностные (сеточные) ур-ния:

. (8)

Разностное ур-ние (8) имеет второй порядок погрешности аппроксимации по l и по h:

.

Граничные условия (2) аппроксимируются точно ур-ми

. (9)

Первое начальное условие из (3) аппроксимируется точно ур-нием . (10a)

Во 2-ом нач. усл 1-ую производную по t будем аппроксимировать разностным соотношением на основании равенства

.

В результате получаем разностное ур-ние

(10b)

с первым порядком аппроксимации по l.

Таким образом, построена разностная схема (8), (9), (10), кот имеет 2-ой порядок аппроксимации по h и 1-ый порядок аппроксимации по l.

Разрешимость разностной схемы.

Как следует из (8), решение выражается явным образом через значения на границе и на двух предыдущих слоях:

11)

Решение на нулевом слое определяется по формуле (10a), а затем из формулы (10b) определяется решение на первом слое:. (12)

Повышение порядка аппроксимации начальных условий.

Поскольку разностное ур-ние (8) аппроксимирует основное ур-ние (1) со вторым порядком, желательно, чтобы и разностное начальное условие также имело второй порядок аппроксимации. С этой целью воспользуемся разложением в ряд Тейлора:

,

где 0 <  < 1. Отсюда получим

.

Так как в соответствии с дифф. ур-нием (1) ,

то имеем .

Следовательно, разностное ур-ние

(13)

аппроксимирует второе начальное условие из (3) со вторым порядком по l:

Разностная схема (8), (9), (10a), (13) аппроксимирует краевую задачу (1), (2) со вторым порядком как по h, так и по l. Решение на нулевом слое определяется по формуле (10a), а затем из формулы (13) определяется решение на первом слое:. (14). На остальных слоях решение вычисляется по формуле (11).

Построение равносильной разностной схемы с однородными граничными условиями.

В ур-ниях (8) перенесем из левых частей в правые части члены, содержащие граничные значения. После такого преобразования уравнения (8), (9) примут следующий вид

. (15) . (16)

Здесь Начальные условия (10a) и (13) остаются при этом практически без изменения:

. (17)

Очевидно, для внутренних узлов разностная схема (15), (16), (17) равносильна разностной схеме (8), (9), (10a), (13): .

Таким образом, переход к равносильной разностной схеме с однородными граничными условиями упрощает исследование разностной схемы на устойчивость, так как из устойчивости равносильной схемы по правой части автоматически будет следовать устойчивость исходной схемы и по правой части и по граничным условиям. Указанное обстоятельство позволяет ограничиться исследованием разностной схемы с однородными граничными условиями на устойчивость по начальным условиям и по правой части.