65. Основные понятия теории разностных схем.

Пусть в области задана краевая задача

, (1) (2). Обозначим- пр-во функций, определенных на замкнутом множестве, к которому мы относим решение задачи (1), (2);- пространство правых частей, определенных на, и- пространство функций, определенных на границеобласти. На множествевведем сеткуи построим разностную схему

, (3) . (4) Обозначим- пространство функций, определенных на всей сетке, к которому мы относим решение задачи (3), (4);- пространство правых частей, определенных на, и- пространство функций, определенных на границесетки.

Проекцию непрерывной функции обозначим через.

В пространствах введем нормы. При этом сеточные нормы в пределе придолжны совпадать с непрерывными нормами.

Говорят, что решение разностной схемы (3), (4) сходится к решениюкраевой задачи (13), (14), еслипри.

Говорят, что разностная схема (3), (4) аппроксимирует краевую задачу (1), (2) на ее решении , еслипри. При этом величинуназывают погрешностью аппроксимации на решении.

Разностную схему (3), (4) называют устойчивой, если существуют и не зависящие отконстанты, такие, что придля любой сеточной функциивыполняется неравенство

.

Теорема. Если разностная схема (3), (4) устойчива и аппроксимирует краевую задачу (1), (2) на ее решении, то решение разностной схемы сходится к решениюкраевой задачи.

Доказательство. Для сеточной функции , в силу устойчивости разностной схемы, имеемили. Учитывая линейность операторов, разностную схему и условие аппроксимации, отсюда получаем

при .Доказанная теорема позволяет разбить исследование сходимости на два этапа: исследование аппроксимации и исследование устойчивости разностной схемы.

66. Сходимость сеточного метода

решения краевой задачи для уравнения Пуассона.

Фоpмулиpовка исходной дифференциальной краевой задачи

Дифференциального уpавнения Пуассона:

, (1)

задано внутpи единичного квадpата

.

Требуется найти pешение u(x,y), удовлетвоpяющее гpаничным условиям

(2a)

. (2b)

Для краевой задачи (1), (2) была построена разностная схема

(3)

, (4a)

. (4b)

Было показано, что разностная схема (3), (4) аппроксимирует краевую задачу (1), (2) на ее решении со вторым порядком относительно шагов и.

Иссследование разностной схемы на устойчивость.

Введем сеточные нормы ;;. Разностная схема (3), (4) называется устойчивой, если существуют такие положительные константы, не зависящие от, что для произвольной сеточной функциивыполняется неравенство.

Возьмем произвольную сеточную функцию , обозначими рассмотрим квадратный многочлен

. (5)

На множестве выполняются неравенства

. (6)

Применяя оператор Лапласа к многочлену , имеем.

Учитывая, что погрешность аппроксимации дифференциального оператора Лапласа разностным выражается через четвертые производные, получаем .

Возьмем вспомогательную функцию . Применяя к ней разностный оператор Лапласа, получим.

В силу принципа максимума для разностного оператора Лапласа сеточная функция принимает наименьшее свое значение на границе. На границе в соответствии с (6) имеем.

Отсюда следует, что или

. (7)

Используя вспомогательную функцию , можно доказать, что

. (8)

Объединяя (7) и (8), получаем или

. (9)

Из (9) и (6) следует . Устойчивость доказана.

Таким образом, разностная схема (3), (4) устойчива и аппроксимирует краевую задачу (1), (2) на ее решении. По доказанной ранее теореме решение разностной схемы будет сходиться к решениюкраевой задачи.