60. Эквивалентность граничных и вариационных задач

Рассмотрим граничную задачу

, (1)

(2)

Считаем, что при данных предположениях существует единственное решение задач (1),(2) класса.

Задача (1),(2) поставим в соответствующую вариационную задачу (3)

На множестве (4)

Теорема. Пусть решение вариационной задачи (3),(4), тогдаудовлетворяет задаче (1),(2).

Док-во Если функция доставляетфункционалу, то она необходимо удовлет-воряет условию Эйлера. В данном случае это уравнение будет иметь вид:

Теорема Пусть решение задачи (1),(2), тогда на функциифункционалпринимает минимальное решение и кроме тогоявл. Решением задачи (3),(4).

Док-во. Положим , гдетакова что, тогда(5)

Рассмотрим первое слагаемое второго интеграла в первой части равенства (5), интегрируем по частям имеем:

С учетом этого равенства и того, что - решение задачи (1),(2) перепишем (5) в виде:

(6)

В силу условий наложенных на функции иинтеграл, поэтому из (6) следует, что на функциюфукционалпринимает минимальное значение. Далее, если, то, а значит, поскольку, то.

61. Метод Ритца решения вариационных задач.

Идею метода Ритца рассмотрим на примере простейшей вариационной задачи

, (1)

. (2)

Будем считать, что вариационная задача (1), (2) имеет решение :.

Последовательность функций называют минимизирующей, если. Основная идея метода Ритца заключается в сведении вариационной задачи к задаче на отыскание минимума функции. Пусть имеется семейство функций, таких, что при любых конечных значениях числовых параметровкаждая функцияпринадлежит. Тогда

и возникает задача нахождения значений параметров, при которых функцияпринимает минимальное значение. Если функция непрерывно дифференцируема по своим аргументам, то можно воспользоваться принципом Ферма и определить искомые значения параметровиз системы уравнений. (3). В методе Ритца в качестве-го приближения к решениювариационной задачи (1), (2) берется функция.

Семейство функций , называется-полным на, если для,, такие, что.

Теорема. Если функция непрерывна в областии семейство функцийявляется-полным на, то последовательность, построенная по Ритцу минимизирующая.

Доказательство. Зададимся произвольным положительным числом . В силу непрерывности, существует, такое,что

при .

Поскольку система функций является-полной на, то для, такие, что функцияудовлетворяет неравенствам

при . Таким образом,

.

Учитывая, что , отсюда имеем. Так какпроизвольно, то окончательно получаем. Теорема доказана.

Для функционала (4) имеет место

Теорема. Если последовательность является минимизирующей для вариационной задачи (4), (2), то она сходится к решению этой задачи.

Доказательство. Элемент минимизирующей последовательности приближает решениевариационной задачи с погрешностью

.

Применяя к последнему интегралу неравенство Буняковского, имеем

.

Учитывая, что на, получаем

Учитывая , получаем окончательную оценку

, из которой следует утверждение теоремы.

62. Построение системы линейных уравнений для определения значений параметров в методе Ритца.

Краевая задача , (1)

(2) эквивалентна вариационной задаче

(3)

. (4)

Сначала зададим семейство функций , которое было бы-полным на, а затем построим минимизирующую последовательность, где значения параметров опр-ся из системы вида. (5). Выберем последовательность функцийтак, чтобы выполнялись следующие условия:

1) ;

2) ;

3. функции линейно независимы;

4. система функций , образованных по правилуявляется- полной на.

Очевидно, коэффициенты приможно трактовать, как координаты функции. Поэтому функцииназывают координатными. Имеем

Система (5) в данном случае получается в виде (6)

Систему можно записать в стандартной форме

, где коэффициенты определяются формулами

Теорема. Если на, то система (6) имеет единственное решение.

Доказательство. Рассмотрим однородную систему, соответствующую (6):

Умножим каждое уравнение системы на соответствующее и просуммируем получившиеся уравнения. В результате получим

В силу положительности отсюда следуети. Таким образом,, поскольку координатные функции линейно независимы. Следовательно, рассматриваемая однородная система имеет только тривиальное решение, ее определитель отличен от нуля и соответствующая неоднородная система имеет единственное решение при любых правых частях уравнений. Теорема доказана.

В качестве координатных функций на практике часто берут функции: 1) или; 2). При этом в обоих случаях для обеспечения выполнения граничных условий берут функцию. Легко видеть, что система функцийпринадлежит множествудопустимых функций. Доказательство-полноты насистемы функций с координатными функциями первого вида проведем сначала для случая нулевых граничных условий. Возьмеми. Длясуществует многочленстепени, такой, что. Рассмотрим многочлен степени:. Он принадлежит множеству. Для производных на отрезке справедлива оценка

Проведем оценку приближения на отрезке функции многочленом

Обозначим . Отсюда. Таким образом, многочленпредставляется в виде. Рассмотрим теперь случай ненулевых граничных условий. Возьмеми. Для функциипостроим указанным выше способом многочлен, для которого выполняются неравенства

Таким образом, многочлен и его производная приближают соответственно функциюи ее производную с погрешностью, не превышающей.