58. Сходимость сеточного метода решения краевых задач для обыкновенных диф. Уравнений.

Для граничной задачи , (1) y(a)=A, y(b)=B (2) на равномерной сетке x_i=a+ih, i=0,1,...,N;h=(b-a)/N построена разностная схема ,(3) y₀=A, y_N=B (4). Точное решение y(x) в узлах сетки: ,(5) ,y(x_N)=B (6). Для погрешности, с которой алгебраические уравнения (3) приближают диф-ое уравнение (1) в узлах сетки, была получена оценка(7). Граничные условия приближаются точно. Фактическое решение системы (3), (4), вследствие выч-ой погрешности, отличается от точного решенияy_i этой системы, => ,(8) (9) Оценим погрешности . Вычитая из (5), (6) соотв. ур-ния (8), (9), получим разностную задачу,(10) (11).

Лемма. Пусть выполняются условия:1) 2)g(x)≤0,a≤x≤b 3) 4), для произвольных последовательностей,.Тогда, i=0,1,...N. Док-во. Рассмотрим 2 числовые последовательности z_i±ε_i, i=0,1,...,N. Из условия 3) леммы имеем ,i=1,2...N-1. В силу принципа max для оператора последоват-тиz_i±ε_i,i=0,1,...N принимают свое наименьшее отрицательное значение на границе. Из условия (4) на границе имеем z₀±ε₀≥0 и z_N±ε_N≥0. Т.о. z_i±ε_i≥0, i=0,1,...N лемма доказана.

Построим посл-ть z_i. Рассм. граничную задачу: ,(12)

E(a)=0,E(b)=0 (13) При a<x<b решение E(x) этой задачи положительно: E(x)>0. Докажем это от противного. Пусть существует такое , чтои. Тогда внутри отрезка найдется точка, в которой достигается неположит-ыйmin: . В результате противоречие. Для последов-тивыполняются условия 4) леммы сравнения при любой положительной константеC. Найдем значение константы C, при котором будут выполнены условия 3). Из (10) и (7) имеем , или(14), где ,,,. Изполучим при достаточно маломh ,,(15), где,. Из (14) и (15) следует, что для вып. усл. 3) леммы сравн. полож. константыC должно удовлетворять неравенству . => получ..Использ. лемму сравнения, приходим к искомой оценке(16) Из оценки (16) вытекает, что решениесистемы (8), (9) приh→0 равномерно сходится к решению y(x) исходной задачи (1), (2), если δ/h²→0 при h→0.

59. Методы прогонки и пристрелки решения разностных схем при решении краевых задач для обыкновенных д.У.

Для гран. задачи на равномерной сеткебыла построена разностная схема. Коэффициенты в уpавнениях (3):(5). Метод разностной пристрелки. (3) можно решить относительно Так как, то)>0 и операция деления в (6) реализуется. Последовательность, образуемая по правилу (6) однозначно определяется значениями первых двух своих членов:Постpоим последоват-тивзяв в (6)Очевидно, последоват-ть,i=0,1…N (7) при любом значении паpаметpа σ удовлетворяет сис-ме (3) и левому граничному условию . Чтобы выполнялось пpавое гpаничное условие, нужно взять(8)

Метод разностной прогонки. Уравнение можем записать:Пусть мы выpазиличерезфоpмулойПодставим это дляв (3):-. Отсюда находимТ.о. коэффициенты в (9)После этого из (9) пpи i=N имеем. По фоpмуле (9) пpи i=N,N-1…2 последовательно вычисляем. Гpаничные значенияданы. Данный метод решения граничной задачи - метод пpогонки. Вычисления по (10) - прямой ход прогонки, а по (9) – обратный.Теорема. В расчетных формулах (10) знаменатели не обращаются в нуль. Доказательство. Задано =0. Пусть<1, тогда ||=. Далее=||<1. Утверждение теоремы доказано. Т.к.<1, вычисления по формуле (9) будут устойчивы к вычислению погрешности. Исследуем устойчивость к вычислению погрешности формулы (10) к φ_i. Цепочка преобразований:

;

тут

. Учитывая при 0≤i≤N оценкаТ.о. на прямом ходе прогонки по (10) приограниченые, =>устойчивы к вычислительной погрешности.