52. Экстраполяц. Метод Адамса решения задачи Коши.

Рассмотрим задачу Коши (1)

(2). Пусть задача Коши (1), (2) имеет точное решение . На отрезкепостроим с шагомравномерную сетку(3). Для любой гладкой функциивыполняется равенство. (4) Перейдем к новой переменной интегрированияпо правилу:. (5) Возьмем в качестве узлов интерполяции узлы сеткии заменим в (5) подынт. Ф-юинтерполяц. многочленом Ньютона для интерполирования в конце таблицы

, (6) где остаточный член интерполяционного многочлена

.

После подстановки и интегрирования получим

, (7).

Здесь ,.

На основании теоремы о среднем отсюда получим

, из которого следует оценка , (8), где. Возьмем теперь в (7) в качествеинтегральную кривуюдиф-го уравнения (1), удовлетворяющую условию. С учетом, чторавенство (7) примет вид

, (9)

Отбрасывая в (9) остаточный член и переходя к приближенным значениям, получаем расчетную формулу , (10)

где . Метод с расчетной формулой (10) называют экстраполяционным методом Адамса. Погрешность метода на шаге или погрешность расчетной ф-лы метода опр-ся остаточным членомсоотв-ей точной формулы (9). Экстраполяционный метод Адамса с расчетной формулой (10) является явным-шаговым и имеетпорядок точности. Отметим, что в случаемы получаем одношаговый метод Эйлера.

53. Интерполяционный метод Адамса решения задачи Коши.

Задача Коши: ,, (1). (2). Пусть задача Коши (1), (2) имеет точ. реш-иена, шаг, равномерная сетка:. (3)

Для любой гладкой функции рассмотрим формулу.(4)

Перейдем к новой переменной интегрирования t по правилу :. (5)

Узлы интерполяции - узлы сетки и заменим в (5) подынтегральную функциюинтерполяционным многочленом Ньютона для интерполир-ия в конце таблицы

, (6) где остаточный член интерполяционного многочлена (тета)

. После подстановки и интегрирования получим , (7)

Здесь ,.

Отсюда получим , (8) где.

Возьмем в (7) в качестве интегральную кривуюдиф-ого уравнения (1), удовлетворяющую условию. С учетом,, рав-во (7):

, (9)

Отбрасывая в (9) остаточный член, переходя к приближенным значениям, получаем расчетную формулу (10) , где.

- интерполяционный метод Адамса.

54. Общий вид линейных многошаговых методов решения задачи Коши.

Рассмотрим задачу Коши , (1) и (2). Навведем равномерную сетку, ,. Линейные многошаговые методы задаются соотношением

, (3). Для начала вычислений по формуле (3) необходимо знать разгонные значения. . Значение берется из (2), остальные определяются посредством одношагового метода соответствующего порядка точности.

Числа ив (3) будем называться параметрами метода (3). При(3) будем явным методом, а при– неявным методом.

Пусть точное решение задачи (1), (2). Погрешность метода (3), как правило, удовлетворяет оценке

где . В основу построения многошаговых методов (3) (т.е. выбораи) положим понятие алгебраического порядка точности. Будем говорить, что метод (3) имеет алгебраический порядок точности, равный, если он является точным для любого многочлена степени. Если– многочлен степени, то, т.е..

Для построения метода (3) алгебраического порядка точности равного , будем поочередно подставлять в (3) функции вида:. При. В силу (1). Далее, необходимо чтобы выполнялосьточно, поэтому при подстановке функциибудем иметь соотношение(4)

Таким образом, условие (1) является необходимым и достаточным для того, чтобы метод (3) был точен для любого многочлена нулевой степени. Положим теперь . Подставляя эти соотношения в (3) будем иметь:. Последнее соотношение перепишем так:

.

В силу (4), последнее равенство запишем в виде:

(5)

Таким образом, для того, чтобы метод (3) имел алгебраический порядок точности, равный 1, необходимо и достаточно, чтобы его параметры удовлетворяли условиям (4) и (5). Продолжая этот процесс, получим соотношение (6)

Т.е. для того, чтобы метод (3) имел алгебраический порядок точности равный необходимо и достаточно, чтобы его параметры удовлетворяли (4), (5), а при еще и (6). Соотношение (4) и (5) (или (4),(5),(6)) представлял собой систему линейных алгебраических уравнений, которая в общем случае может иметь не единственное решение. Поэтому, ряд параметров метода (3), имеющий алгебраический порядок точности равный, будут свободными. Т.е. ими можно распорядиться, например, для повышения алгебраического порядка точности или повышения устойчивости, либо чтобы сделать метод (3) явным.

Пример. Пусть (3) имеет вид: (7). Обозначим. В данном случае условия (4) и (5) таковы. Поэтому (7) можно переписать в виде(8).

Метод (8) точен для любого многочлена первой степени и содержит 1 свободных параметр . Например, если положить, то получим явный метод, который является методом Эйлера. Однако, напримерможно выбрать и таким образом, чтобы метод (8) был точен для любого многочлена второй степени. Действительно, будем подставлять в (8) функцию:. В данном случае:

(9). Перепишем (9) в виде: (10)

Приведем в (10) подобные слагаемые:

.

А (8) приобретает вид: .