42. Метод вращений решения полной проблемы собственных значений.

Метод вращений предназначен для решения полной проблемы собственных значений для эрмитовых матриц. В алгебре доказывается, что для эрмитовой матрицы существует унитарная матрица, такая, что преобразование подобия с ней приводит матрицук диагональной матрице: (1)

Для унитарной матрицы по определению сопряженная матрица равна обратной: . Таким образом, равенство (1) можно переписать в виде(2)

Собственными значениями диагональной матрицы являются ее диагональные элементы, а собственными векторами - соответствующие единичные (координатные) векторы, где- символ Кронекера. Выполнение равенствв данном случае очевидно.

Строки унитарной матрицы являются собственными векторами матрицы. Это следует из(2): . Действительно, отсюда имеемилиили, где.

Вещественные симметрические матрицы являются частным случаем эрмитовых матриц. Рассмотрим метод вращений для вещественных симметрических матриц.

Найдем наибольший по модулю внедиагональный элемент вещественной симметрической матрицы . Пусть таковым оказался элемент.Без ограничения общности можно считать.

Введем в рассмотрение матрицу вращения

Умножим матрицу справа на матрицу. Получим матрицу, которая отличается от матрицытолько столбцамиi и j:

(3), (4)

Из (3) и (4) при этом следует, что сумма квадратов элементов этих столбцов остается без изменения:

(5)

Умножим матрицу слева на матрицу. Получим матрицу, которая отличается от матрицытолько строкамиi и j:

(6), (7)

Из (6) и (7) при этом следует, что сумма квадратов элементов этих строк остается без изменения:

(8)

Таким образом, преобразование подобия

(9) не меняет суммы квадратов элементов матрицы:

Преобразование подобия (9) также сохраняет симметричность матрицы: _.

Теперь начинается самое главное. Преобразование подобия (9) меняет только два диагональных элемента. При этом, из симметрии , формул (8) и (5) следует: Это значит, что припреобразование (9) увеличит сумму квадратов диагональных элементов и соответственно уменьшит сумму квадратов внедиагональных элементов матрицы на величину. Из (6) и (4) получаем уравнение для определения соответствующего угла

Отсюда находим искомый угол поворота ,(10)

Мы рассмотрели идею метода вращений и получили расчетные формулы метода. В методе вращений строится последовательность матриц (11)

по правилу (12)

Построение последовательности (11) заканчивается получением матрицы , недиагональные элементы которой можно считать равными нулю в пределах заданной точности. При этом ее диагональные элементы принимаются за собственные значения.

В качестве собственных векторов можно взять соответствующие строки матрицы . Может оказаться, что собственные векторы проще находить непосредственно решением систем.

Теорема. Матричная последовательность (11) в методе вращений сходится к диагональной матрице со скоростью геометрической погрешности.

Доказательство. Обозначим . Имеем. Следовательно, сумма квадратов недиагональных элементов в матричной последовательности (11) сходится к нулю не хуже, чем геометрическая последовательность со знаменателем. Теорема доказана.