39. Метод скорейшего спуска решения линейных алгебраических систем

Этот метод предназначен для решения систем линейных алгеб. уравнений (1) с веществ., сим-ой, положительно определенной м-цей. Обозначим решение системы (1) через. Из положит. опр-ти и сим-ти матрицы следует

. Отсюда видно, что минимум ф-ла достигается на решениисистемы (1). Т. о., решение системы (1) сводится к минимизации ф-ла. Для минимизации ф-ла воспользуемся градиентным методом. В направлении градиента скорость возрастания ф-ла наибольшая. В данном случае для градиента ф-ла справедливо рав-во . Действительно, проводя диф-ие, имеем

.

Вектор задает направление, противоп. градиенту, то есть направление, в котором скорость убывания ф-ла наибольшая, если двигаться из точки. Пусть найдено приближениек решению. Рассмотрим процесс нахождения очередного приближ.в методе скорейшего спуска. Направление наибольшей скорости убывания функционала в точкезадается вектором.(2) Этот вектор наз. еще вектором невязок системы для приближения. Точканаходится на поверхности уровняи вектор невязокортогонален этой поверхности уровня в точке. Будем искать минимум ф-ла на множестве точек, где числовой параметр t0. При этом для ф-ла имеем , то есть задача минимизации ф-ла на направлении наибольшей скорости его убывания сводится к нахождению минимума функции одного переменного. Соответствующее значение числового параметраопределяется из условия равенства нулю производной

.

Подставляя сюда выражение для , получаем уравнение. Отсюда(3)

Очередное приближение в методе скорейшего спуска выч-ся по ф-ле (4). В методе скорейшего спуска нужно задать начальное приближ.к решению системы (1) и по расчетным формулам (2), (3), (4) вычислять очередные приближения до получения решения с требуемой точностью.Теорема. Если м-ца A вещественная, сим-ая и полож. определенная, то последовательные приближения , построенные по методу покоорд. спуска, сходятся к решению системыпри любом начальном приближении со скоростью геометрич. прогрессии.Доказательство. Пусть . Тогда хотя бы одно уравнение системы (1) не удовлетв. и по формулам (2), (3), (4) будет найдено приближение, для которого вып-ся нер-во. Обозначим черезминимальное значение ф-циина единичной сфере. Так как, то

. Далее вводится функция и теорема доказана.

40. Степенной метод решения частичной проблемы собственных значений.

Пусть собст. Знач. матр. удовлю нер-ам. Будем считать также, что матрица обладает полной системой собственных векторов. Возьмем произв-ый вектор, разл. его по системе собст-х вект.и обр. последовательность векторов по правилу

(1)

При этом получаем:

,…,.

Компоненты векторов посл-ти можно представить в виде.

(2)

Найдем выражение для отношения компонент соседних векторов в последовательности (1)

Так как ,отсюда имеем.

(3)

В сист. методе построенная посл. (1) прекращается, когда с заданной точностью для всех иотнош.будет одинаковым, тогда, а за собств. вектор можно принять, где.

41. Метод Данилевского раскрытия характеристического уравнения

Метод Данилевского представляет собой способ построения невырожденного преобразования, приводящего матрицу к форме Фрабениуса:

Найдем характеристический многочлен матрицы. Имеем:

Таким образом, ,т.е. в первой строке матрицыстоят коэффициенты характ-ого многочлена. Метод Данилевского заключается в построении посл-ти матриц. Рассмотрим первый шаг этого метода, в котором строятся невырожденные преобразования, приводящие матрицу

к матрице . Будем считать, что все операции корректны. На первом этапе поделимстолбец матрицына элемент, т.е. проводим вычисления по формуле:(1)

Полученный столбец умножим на элемент и прибавим к столбец для ,. Т.е. вычисления проводим по формулам:

, ,,(2)

В результате указанных преобразований по формулам (1),(2) получим матрицу . Рассмотрим матрицу

Формулы (1),(2) можно записать в матрицу в виде так: . Так же заметим, что в результате указанных преобразований последняя строка матрицы совпадает с последней строкой с матрицей .

Непосредственно проверкой убеждаемся, что

Построим матрицу . (3)

Здесь вычисления проводим по формулам:

, ,,(4)

,(4)

Из формул (4) видно,что при умножении матрицы на матрицу меняется только строка. Таким образом, на первом шаге построена невырожденное преобразование (3) такое, что последняя строка матрицы совподает с последней строкой матрицы . Переходим к построению матрицы матрицы .столбец этой матрицыделим на элемент и продолжаем указанный процесс. В результате получим матрицу , у которойи строки совпадают с матрицей , и т.д. На последнем шаге будет построена матрица , т.е. будет построено преобразование приводящее матрицу к форме Фрабениуса.

Выше рассмотрено так называемый регулярный случай, т.е. случай, когда все . Имеет место два нерегулярных случая.

1. Пусть ,но существует,что(т.е. встроке матрицысуществует ненулевой элемент, располож. левое элемента). Тогда в матрицепоменяем местами столбцыи. Рассмотрим матрицу

Перестановка в матрице местами столбцовипредставляет собой умножение матрицына матрицусправа.

Заметим что обратной перестановкой столбцов востанавл. исходный вид матрицы, поэтому .

Рассмотрим матрицу (5). При умножении некоторой матрицы на матрицуслева, у исходной матрицы меняются строки с номерамииместами (но не изменяется строка).

Таким образом в рассмотриваемой нерегулярном случае выполн. преобразование (5), которое будет невырожденным. После этого для матрицы имеем регулярный случай.

2. Пусть и кроме этого. В этом случае матрицапримет следующую структуру:

Характ. многочлен т.е. исходная задача сведена к задаче построения преобразов. подобия, приводящего матрицу, к форме Фрабениуса, причем порядок этой матрицы меньше порядка исходной матрицы.