28.Краткие сведения о нормах векторов и матриц.

Будем обозначатьпространство векторов столбцов: ,пространство квадратных матриц.

Нормой вектора наз. Число ||x|| удвл. Условиям:

1) ||x||>=0, ||x||=0 x=0.

2) ||µx||= |µ|*||x||,

3) ||x+y||<= ||x||+||y||, x, y.

Нормой матрицы B наз. Число ||B|| удвл. след. условиям:

1. ||B||>=0, ||B||=0  B=0

2. || µB||=| µ| *||B||,

3. ||B+C||<=||B||+||C||,

4. ||B*C||<=||B||*||C||,

Если для матричной нормы имеют место условия 1-3, то такая норма наз. обобщённой или аддитивной. Если выполняются все 4 условия, то норма называется мультипликативной.

Интерес представляют матричные нормы, связанные с векторной нормой. Одна из таких связей может быть условием согласованности, а именно, матричная норма называется согласованной с векторной нормой, если ||Вx||<= ||B||*||x||,,x.

Более сильным условием, чем условие согласованности является условие подчинённости, т.е. матричная норма называется подчинённой векторной норме, если ||B||=

Очевидно, что последнее равенство можно записать в виде ||B||=(1)

Заметим, что подчинённая норма единичной матрицы Е всегда равна 1. Действительно,

||E||=.

Рассмотрим важнейшие случаи векторных норм и им подчинённых матричных норм:

1. Норма бесконечность или кубическая норма:

Матричная норма, ей подчин. определ. так:

Докажем, это: имеем

Теперь для док-ва осталось поделить полученную оценку на и воспользоваться (1).

2. Норма-единица или октандрическая норма

. Подчин. ей матричная норма определяется так:

3. Евклидова или сферичная норма

=

Матричная норма, ей подчин. определ. так: , гдесобственные значения матрицы В*В^Т. Докажем это. Будем обозначать (. , .) – скалярное произведение в . Тогда,м-ца В*В^Т является симм. положит. определ. ,а поэтому обладает различными положительными собственными значениями , которые соотв. лин. нез.cобств.

векторы . Представим векторx=

Тогда, В*В^Тx,x)=( В*В^ТТ

Теперь справедливость утверждения следует из формулы (1).

4. Матричная норма Фробениуса

=Эта норма согласована с Евклидовой векторной нормой, но не является подчинённой.

29. Обусловленность линейных алгебраических систем.

Рас-м сис-мы лин. алг. ур-й (1) и, (2)

которые отличаются только правыми частями. Будем считать, что обе системы имеют решения: соответственно ипри любых правых частях. Обозначим,. Сис-ма (1) наз-ся устойчивой по правой части, если при любыхсправедлива оценка, (3) где- константа, не зависящая от правых частей.

Устойчивость по правой части означает, что абсолютная погрешность решения системы стремится к нулю при стремлении к нулю абсолютной погрешности правой части.

Теорема 1. Если , то (1) устойч. по правой части.

Доказательство. Система (1) имеет единственное решение при любой правой части. При вычитании (2) из (1) имеем , откуда получаеми, (4) то есть, выполняется неравенство (3) с константой. Теорема доказана.

Число наз-ся числом обусловленности м-цыA.

Для практики важной является оценка относительной погр-ти решения. Из (1) следует неравенство .(5)

Перемножая (5) и (4), получим искомую оценку

, (6). Т. о., число обусловленности показывает, во сколько раз относительная погр-ть решения больше относительной погр-ти правой части при точно заданной матрице. Матрицы с большим числом обусловленности наз. плохо обусловленными матрицами.

Пусть - собств. вектор матрицы А, соответствующий наибольшему по модулю собственному значению:. Отсюда последовательно получаем

, . Поскольку, то. Из полученных нер-в следует, что

. (7)

Из свойства (7) для числа обусловленности матрицы А следует свойство . (8)

Отметим еще одно свойство числа обусловленности

. (9)

Рассмотрим наряду с системой (1) систему (10) и проведем полную оценку погрешности. Обозначим.

Лемма 1. Пусть С – квадратная матрица и . Тогда существует обратная матрицаи выполняется оценка. (11)

Доказательство. Для любого вектора имеем

, (12) где . След-но, однородная системаимеет только тривиальное решение. Поэтомуи существует матрица. Возьмем произв. вектори обозначим. При подстановке этого выражения дляв (12) получимили. Поскольку полученное нер-во выполняется для любого ненулевого вектора, то отсюда с учетом определения нормы матрицы следует оценка (11). Лемма доказана.

Теорема 2. Пусть матрица имеет обратную и выполнено условие. (13) Тогда матрицаимеет обратную и имеет место оценка(14)

Доказательство. Имеем . По условию (13) выполняется. Поэтому согласно лемме 1 существует, а значит, существует и

. (15) Первое утверждение теоремы доказано.

Из (1) и (10) имеем и, откуда для искомой погрешности получаем

.Т. о., и. (16)

Из (15) и леммы 1 следует оценка

. (17)

Используя в (16) оценку (17) и учитывая, что приходим к искомой оценке (14). Теорема доказана.