- •С.Г.Савчук
- •Передмова
- •Передмова до другого видання
- •Список літератури
- •1.2. Математичні та фізичні моделі Землі.
- •1.3. Системи координат, що застосовуються у вищій геодезіі.
- •1.4. Основи теорії поверхонь.
- •Розділ 2 геометрія земного еліпсоїда
- •Таблиця 2.1
- •2.3.1. Зв'язок між геодезичною, приведеною і геоцентричною широтами.
- •2.3.2. Зв’язки між різними видами координат.
- •З використанням введених позначень, формулу (1.8) із розділу 1, запишемо у виді
- •Рис 2.8
- •На основі (2.60) отримаємо
- •Розділ 3 розв’язування геодезичних задач
- •3.1. Види геодезичних задач.
- •3.2. Короткі історичні відомості.
- •3.4.1. Розв’язування сфероїдних трикутників.
- •Сферичний надлишок
- •Таблиця 3.1
- •Способи розв’язування малих сфероїдних трикутників а) за формулами сферичної тригонометрії
- •Б) за теоремою Лежандра
- •Згідно теореми Лежандра, значення кутів плоского (лежандрового) трикутника буде
- •В) за способом аддитаментів
- •Позначивши
- •Г) за виміряними сторонами
- •3.4.2. Розв’язування головних геодезичних задач а) на поверхні сфери
- •Б) на поверхні еліпсоїда
- •В) в просторі
- •3.5. Диференційні формули.
- •3.5.1. Диференційні формули для геодезичної лінії.
- •3.5.2. Диференційні формули для довільної точки простору.
- •3.5.3. Диференційні формули для системи геодезичних координат.
- •3.5. Диференційні формули.
- •3.5.1. Диференційні формули для геодезичної лінії.
- •3.5.2. Диференційні формули для довільної точки простору.
- •3.5.3. Диференційні формули для системи геодезичних координат.
- •3.7.1.Алгоритм та числовий приклад розв'язування прямої і оберненої геодезичних задач на поверхні сфери.
- •Обернена геодезична задача
- •Обернена геодезична задача
- •3.7.5. Алгоритм та числовий приклад розв'язування прямої та оберненої геодезичних задач на поверхні еліпсоїда на основі чисельного методу (формул Рунге-Кутта) а) алгоритм
- •Пряма геодезична задача
- •Обернена геодезична задача
- •Б) числовий приклад
- •Пряма геодезична задача
- •Обернена геодезична задача
- •3.7.6. Алгоритм та числовий приклад розв'язування прямої та оберненої геодезичних задач в просторі.
- •Обернена геодезична задача
- •Розділ 4 плоскі прямокутні координати гаусса-крюгера
- •4.1. Плоскі координати в геодезії.
- •4.4. Перетворення полярних координат.
- •4.5. Формули проекції Гаусса-Крюгера
- •4.5.2. Формули для обчислення зближення меридіанів
- •4.5.3. Формули для обчислення масштабу проекції
- •Таблиця 4.2
- •Таблиця 4.3
- •Таблиця 4.4
- •Таблиця 4.5
- •Тоді, згідно формули (4.37), для відносного спотворення відстаней, напишемо
- •Таблиця 4.6
- •Таблиця 4.11
- •4.8. Перетворення координат Гаусса-Крюгера із зони в зону.
- •Розділ 5 основи теоретичної геодезії
- •5.1. Сучасні поняття про фігуру Землі та її зовнішнє гравітаційне поле
- •5.2.1. Астрономо-геодезичні відхилення прямовисних ліній
- •5.2.2. Гравіметричні відхилення прямовисних ліній
- •5.2.3. Інтерполювання відхилень прямовисних ліній
- •5.3. Визначення відступів геоїда (квазігеоїда)
- •5.3.1. Астрономічне нівелювання
- •5.3.2. Астрономо-гравіметричне нівелювання
- •5.4. Система висот в геодезії
- •5.4.1. Поняття висоти
- •5.4.1. Ортометричні висоти
- •5.4.3. Нормальні висоти
- •5.4.4. Динамічні висоти
- •5.5.1. Поняття про редукційну задачу
- •5.5.2. Редукування лінійних вимірів
- •5.5.3. Редукування виміряних горизонтальних напрямів
- •5.6.1. Методи виводу розмірів земного еліпсоїда за градусними вимірюваннями
- •5.6.2.Встановлення вихідних геодезичних дат
- •5.6.3. Сучасні підходи до визначення параметрів фігури Землі
5.3.1. Астрономічне нівелювання
Часткові похідні збурюючого потенціалу (тут проведена замінана) будуть дорівнювати
.
Підставимо знайдені значення часткових похідних у формулу (5.14) і отримаємо нові вирази для складових відхилень прямовисних ліній
(5.24)
Обчислимо диференційну зміну відступів геоїда , використовуючи топоцентричну горизонтальну систему координат(див. § 1.4). Якщо висота геоїда є функцією цих координат, тобто , то його повний диференціал буде
. (5.25)
Згідно формули (3.47) має місце ортогональне перетворення координат, тобто відрізки
(5.26)
складають ортогональну систему координат. З використанням (5.24) та (5.26) для часткових похідних отримаємо
.
Зауважимо, що часткова похідна по висоті приведена нами без доведення (детальніше див. [9]). Тепер формулу (5.25) можна записати у такому вигляді
.
Поскільки та(див. формулу 3.1), то
.
Проінтегрувавши останній вираз по ходовій лінії між точками тана земній поверхні, отримаємо перевищення геоїда між цими точками
. (5.27)
Формула (5.27) і є формулою астрономічного нівелювання. У цій формулі перший інтеграл є головним, а другий – малою поправкою за відносний надлишок сили ваги.
Отже, сам процес астрономічного нівелювання полягає в наступному. Вздовж вибраної траси повинні бути визначені астрономічні та геодезичні координати точок, взятих на відстанях 5-10 км, їх наближені висоти (будь-яким методом). Необхідно також провести гравіметричне знімання. Після отримання всіх необхідних даних визначають . Звісно, в початковій точці астрономічного нівелювання висота геоїда над земним еліпсоїдом повинна бути відома. Отримання різницьза формулою (5.27) є досить складною справою, особливо це стосується обчислення другого члена. Взагалі ця поправка є порівняно незначною: в гірських районах вона може складати до 0.5м, а у рівнинних – до 0.1м. Зважаючи на величину даної поправки, а також на той факт, що вона визначається досить невпевнено, нею часто нехтують. Тому формулу астрономічного нівелювання часто записують у спрощеному варіанті
, (5.28)
де .
Похибка лінійної інтерполяції астрономо-геодезичних відхилень прямовисних ліній визначається для рівнинних районів виразом (5.21). Емпірична середня квадратична похибка астрономічного нівелювання (в м) по лінії довжиноюпідраховується за формулою
, (5.29)
де -відстань між астропунктами. Для типової в Україні відстанімаємо. Тоді при.
Результати астрономічного нівелювання можуть бути суттєво покращені, якщо замість збільшення кількості астропунктів використати інтерпольовані значення астрономо-геодезичних відхилень прямовисних ліній (див. § 5.2.3). Використання інтерпольованих відхилень прямовисних ліній зменшує вплив нелінійності зміни астрономо-геодезичних відхилень прямовисних ліній, але цілком не виключає його.
5.3.2. Астрономо-гравіметричне нівелювання
Астрономічне нівелювання може бути практично реалізоване при умові, що в кожній точці нівелювання відомі астрономо-геодезичні відхилення прямовисних ліній. Це означає, що в кожній з цих точок необхідно виконати астрономічні визначення широти та довготи, а також передати на на ці точки геодезичні координати. Для значних територій це є надзвичайно складна робота. Відхилення прямовисних ліній можуть бути отримані чисто гравіметричним методом з допомогою формул Венінг-Мейнеса (5.19). В силу вказаних там причин цей метод теж є малопридатним для даної задачі. Ще у 1934 р. М. Молоденським був запропонований спосіб визначення висот геоїда, що базувався на можливостях астрономо-геодезичного та гравіметричного методів отримання відхилень прямовисних ліній. При цьому він дозволяв обійти труднощі, що зустрічалися у кожному методі зокрема. Цей спосіб був названий астрономо-гравіметричним нівелюванням. Суть цього способу полягає у тому, що відхилення прямовисної лінії між віддаленими пунктамиіможуть бути інтерпольовані за матеріалами гравіметричного знімання та астрономо-геодезичними даними. Інтерполювання проводиться згідно методики, що описана у § 5.2.3. Це дає змогу врахувати нелінійність зміни астрономо-геодезичних відхилень прямовисних ліній між суміжними астрономічними пунктами.
Якщо витримані умови астрономо-гравіметричного методу, то середня квадратична похибка астрономо-гравіметричного нівелювання підраховується за формулою (5.29). Враховуючи, що точність , середня відстань між суміжними астропунктами складає, то при.