Розділ 3 розв’язування геодезичних задач

3.1. Види геодезичних задач.

Виміряні на фізичній поверхні Землі кутові та лінійні величини після редукування їх на математично правильну поверхню, якою слугує поверхня земного еліпсоїда, використовуються в подальшому при розв'язуванні різноманітних геодезичних задач. Основними і найбільш типовими задачами вищої геодезії є: розв'язування трикутників і обчислення координат пунктів та азимутів напрямів, що дозволяють визначати взаємне положення різних точок на еліпсоїді і на фізичній поверхні Землі. Це , переважно, і є кінцевою метою всіх геодезичних робіт.

Остання задача носить назву головної задачі вищої геодезії або головної геодезичної задачі. Отже, головна геодезична задача, в її класичній постановці, безпосередньо зв'язана з методом тріангуляції і розв'язується вона в геодезичних координатах B,L на поверхні прийнятого для опрацювання геодезичних вимірювань еліпсоїда, і на яку пункти фізичної поверхні Землі проектуються нормалями. Суть поняття, що визначається словами "головна геодезична задача" зводиться до наступного. На поверхні земного еліпсоїда маємо точки Q₁ i Q₂. Положення точки Q₁ задано її геодезичними координатами: широтою B₁ і довготою L₁. Крім того відома довжина s геодезичної лінії, що з'єднує точки Q₁ i Q₂, а також азимут A₁ цієї лінії в точці Q₁ (прямий азимут). Вимагається визначити широту B₂ і довготу L₂ точки Q₂, а також азимут A₂ геодезичної лінії Q₂ Q₁ в точці Q₂ (обернений азимут).

Описана задача називається прямою геодезичною задачею.

Якщо заданими величинами є координати B₁,L₁ i B₂,,L₂ точок Q₁ i Q₂, а величинами, що визначаються - азимути A₁, A₂ і довжина s геодезичної лінії, то таку задачу називають оберненою геодезичною задачею.

Рисунок 3.1 іллюструє сказане вище. На ньому: Р - полюс еліпсоїда, лінії Q₁ P i Q₂ P - меридіани точок Q₁ i Q₂.

Рис. 3.1

Розв’язування вказаних задач ускладнюється тим, що виконувати їх потрібно на поверхні, для якої неможна привести кінцевих формул, аналогічних формулам, що використовуються при розв'язуванні подібних задач на поверхні сфери або на площині. При розв’язуванні головних геодезичних задач на поверхні еліпсоїда необхідно враховувати кривину цієї поверхні, що змінюється і залежність її від широти, а також досить високі вимоги, щодо точності результатів обчислень. Хоча математичні методи забезпечують виконання обчислень з будь-якою практично необхідною точністю, проте висока точність, як правило, вимагає досить складних підходів до методів розв'язування головних геодезичних задач.

Лінійні розміри кривих на еліпсоїді одинакової дугової величини також залежать від широти. Тому до геометричних фігур, утворених цими кривими, не можуть бути застосовані звичайні правила рівності їх елементів. Так, наприклад, трикутники з рівними сторонами, але розташовані на різних широтах, будуть мати нерівні відповідно розташовані кути; аналогічно, трикутники, що мають рівні кути і по одній одинаковій стороні, будуть мати нерівні дві інші сторони, якщо вони розташовані не на одній широті.

Проте розв’язування задач на еліпсоїді полегшується тим, що земний еліпсоїд мало відрізняється від сфери, тому трикутники на його поверхні можуть з незначними для практики похибками замінюватись сферичними і їх розв'язування виконуєтьсяться за формулами сферичної тригонометрії.

Використання сфери є дуже вигідним для наближеного розв'язування головної геодезичної задачі, коли задана точність не викликає необхідності введення поправок за перехід з поверхні еліпсоїда. Така задача може виникнути при використанні радіогеодезичних методів вимірюваннь, в навігації, при інженерно- геодезичних вишукуваннях і інших аналогічних задачах. Радіус сфери в таких випадках приймається рівним або середньому радіусу кривини еліпсоїда для області робіт або радіусу такої сфери, площа поверхні якої рівна площі поверхні земного еліпсоїда.

Розв’язування геодезичних задач на сфері, яке базується на методах і формулах сферичної тригонометрії, може використовуватись і як перше наближення при їх розв'язування на поверхні еліпсоїда ( про це буде мова у розділі 3.6.) або як проміжний етап при зображенні за певним законом еліпсоїда на сфері і використання останнього для розв’язування геодезичних задач на еліпсоїді.

При опрацюванні просторових геодезичних мереж (без проектування їх на поверхню еліпсоїда) може виникнути потреба в розв’язуванні головної геодезичної задачі між точками в просторі, особливо часто такі задачі розв’язуються при застосуванні супутникових методів визначення положення пунктів.

Відзначимо, що крім головної геодезичної задачі, класична геодезія має в своєму арсеналі також і інші види геодезичних задач: азимутальна і лінійна засічки, гіперболічна засічка тощо. Конкретний тип засічок визначається в залежності від виду кутових (прямі азимути, різниці прямих азимутів з двох пунктів, обернені азимути, різниці обернених азимутів) чи лінійних (відстані, різниці відстаней, сума відстаней, відношення відстаней) вимірювань. Проте в даний час для визначення координат пунктів кутові і лінійні засічки дуже рідко використовуються, тому основна увага буде зосереджена на розв’язуванні головної геодезичної задачі.