3.2. Короткі історичні відомості.
Виникнення головної геодезичної задачі у вище наведеній постановці слід віднести до першої половини ХVII століття, коли Снелліус розробив і запропонував метод тріангуляції, коли в результаті теоретичних вишукувань та практичних робіт цілого ряду вчених було правильно встановлено вид і розміри Землі і, коли, нарешті, були в достатній мірі розроблені математичні методи розв'язування цієї задачі. Природньо, що успіхи в розв’язуванні головної геодезичної задачі обумовлювались широким розмахом геодезичних робіт, як в плані виробництва, так і в плані наукових досліджень.
Першість в науково обгрунтованій постановці і розв’язуванні головної геодезичної задачі належать французам. Франція відігравала керівну роль в цьому питанні протягом всього XVIII ст.. Однією з перших обставин, що заставила вчених зайнятися розв’язком цієї задачі, були роботи Ж.Кассіні (1734) із складання топографічної карти Франції. А перший крок до розв’язування головної геодезичної задачі з врахуванням сфероїдного виду Землі був зроблений А.Клеро (1735), котрий встановив наступне положення, справедливе для всіх поверхонь обертання: для кожної точки найкоротшої лінії на подібній поверхні добуток відстані від осі обертання на синус азимута є сталим. Це положення Клеро, котре носить назву тепер теореми Клеро, створило основу сфероїдної тригонометрії. Л.Ейлер (1753), як засновник сфероїдної тригонометрії, вказав на застосування останньої для трикутників на будь-яких поверхнях, якщо сторони трикутників є найкоротшими лініями. При розв'язування головної геодезичної задачі має застосування теорема А.Лежандра (1787), котра значно спрощує розв’язування трикутників тріангуляції. Лежандр дав три розв’язки головної геодезичної задачі різної точності. Третій розв'язування, в якому використовується геодезична лінія, можна вважати першим прямим розв’язком головної геодезичної задачі.
З двадцятих років XIX ст. першість в даному питанні переходить до німецьких вчених, які дали дуже багато цінного в багатьох теоретичних і прикладних питаннях геодезії взагалі і грали провідну роль протягом XIX ст.
Розв'язування головної геодезичної задачі з застосуванням достатньо зручних формул і з забезпеченням необхідної в той час точності дав в своїх роботах Зольднер (1810). Замість прямого шляху розв'язування К.Гаусс вперше, застосувавши ряд Тейлора, дав непрямий (побічний) шлях, в якому обчислювались не безпосередньо шукані координати і азимути, а лише поправки до вихідних даних. Він же, на основі своєї теорії конформного зображення одної поверхні на другій, дає вивід формул розв'язування головної геодезичної задачі. Оригінальний підхід до розв'язування цієї задачі запропонував О.Шрейбер (1878), що в подальшому дістав назву “спосіб допоміжної точки”. Відомі також формули розв'язування головної геодезичної задачі Ф.Гельмерта (1875), В.Йордана (1883), Л.Крюгера (1919).
Остання чверть XIX ст. і початок XX ст. пов’язана із значними успіхами геодезичних робіт на американському континенті і ця обставина, знову таки, відбилась там і на питанні розв’язування головної геодезичної задачі (А.Кларк, Л.Пюіссан, Тобі, А.Роббінс).
Подальші дослідження цього питання не внесли суттєвих змін. На перший план вийшли чисельні методи розв'язування головної геодезичної задачі з допомогою ЕОМ. Особливістю цих методів є простота програмування, висока точність розв'язування, універсальність і однотипність обчислювальної процедури при будь-яких відстанях (Ф.Харамза (1961), Н.Беспалов (1980)).
Методи розв'язування головної геодезичної задачі між точками в просторі були досліджені в роботах М. Молоденського (1954), М.Хотіна (1957), Н.Дюфура (1959), В.Єремеєва і М. Юркіної (1966).
Треба відзначити і внесок українських вчених у проблему розв'язування геодезичних задач: розв'язок на великі відстані (М.І.Русин), розв'язок в системі просторових координат (А.Є.Філіпов, В.І.Рудський) тощо.
Точність розв'язування головної геодезичної задачі на поверхні еліпсоїда.
При розгляді питання про точність обчислень при розв'язуванні прямої та оберненої геодезичних задач виходять з того, що похибки обчислень ніколи не повинні збільшувати похибки самих вимірювань. В зв'язку з цим всі обчислення виконують з точністю, що в 5-10 раз перевищує досягнуту точність вимірювань. У відповідності з цією точністю повинні підбиратися формули та розроблятися алгоритми обчислень.
Вихідними даними, крім постійних величин (параметрів еліпсоїда, швидкості розповсюдження електромагнітних хвиль у вакуумі тощо), є результати вимірювань довжин ліній та напрямів (кутів).
Враховуючи, що напрями в високоточній тріангуляції отримуються із спостережень з точністю до 0.01", всі обчислення, пов’язані з визначенням геодезичних азимутів виконують з точністю 0.001".
В
першокласних мережах довжини сторін
вимірюються з похибкою 1:500 000 – 1:000 000, а
кути – з похибкою
.
Довжини сторін повинні бути не меншими
20 км.
Похибка взаємного визначення положення пунктів (лінійний зсув кінцевої точки лінії довжиною 20 км), яка викликана похибкою виміряної сторони або похибкою виміряного кута, складе
м,
м.
Проекції лінійного зсуву на меридіан і паралель будуть відповідно
Щоб не допускати накопичення похибок обчислень при послідовному розв'язуванні прямої геодезичної задачі від пункта до пункта, обчислення широт і довгот виконують з точністю до 0.0001".
Слід відмітити, що вказана точність характерна для високоточних геодезичних мереж, що створювались методом тріангуляції. В зв'язку з широким впровадженням сучасних супутникових методів визначення положення пунктів, а також їх використання на відстані до тисяч і більше кілометрів, вимоги щодо точності обчислень можуть бути різними. Відзначимо також і те, що при сучасній обчислювальній техніці мова не йде про технічне досягнення потрібної точності, а про вибір методів та алгоритмів розв'язування геодезичних задач в залежності від заданої точності.
Основні шляхи розв'язування геодезичних задач.