3.5.2. Диференційні формули для довільної точки простору.

Встановимо залежності між малими змінами просторових декартових і геодезичних координат довільної точки в просторі. В загальному вигляді ці залежності можна записати

(3.44)

Часткові похідні в цих залежностях можна знайти із рівнянь (2.32)

(3.45)

Для цього попередньо визначимо похідні двох функцій

Враховуючи, що

а радіус кривини меридіана M можна записати у вигляді

то для наведених функцій матимемо

Після цього можна легко знайти часткові похідні, наприклад

(3.46)

Після підстановки похідних в попередні залежності, отримаємо

(3.47)

де матриця перетворення P має елементи

(3.47)

Звідси можна знайти і обернені залежності

(3.48)

де - транспонована матрицяР.

3.5.3. Диференційні формули для системи геодезичних координат.

Зміна розмірів еліпсоїда і його орієнтування відносно фізичної поверхні Землі викликає зміну геодезичних координат всіх точок навколишнього простору.

Формули, за якими визначаються малі зміни геодезичних координат B, L, H точок земної поверхні або навколоземного простору, що викликані малими змінами розмірів еліпсоїда і його паралельним зсувом в просторі носять назву диференційних формул системи геодезичних координат.

Нехай деякий еліпсоїд заданих розмірів (a, ) встановлений відносно земної поверхні так, що вісь обертання його паралельна до осі обертання Землі, а центр еліпсоїда незначно віддалений від центра інерції Землі.

Якщо тепер змінимо форму і розміри еліпсоїда: велику (екваторіальну) піввісь на величину da, а стиснення на величину d , то, відповідно, зміняться при цьому і геодезичні координати B,L,H всіх точок простору, проте прямокутні координати X,Y,Z цих точок залишаться попередніми, поскільки не змінилося положення осей координат.

Здійснивши паралельне зміщення еліпсоїда в просторі разом з осями координат OXYZ , отримаємо додаткові зміни геодезичних координат. Зміняться на цей раз і прямокутні координати всіх точок (в результаті переносу початку координат) на величини dx, dy, dz.

Вказані зміщення (перехід від одної системи геодезичних координат до другої) можна проілюструвати геометрично (рис. 3.6).

В загальному вигляді залежності між всіма вказаними змінами можна записати у вигляді системи диференційних рівнянь

(3.49)

Рис.3.6

Диференціали da, d та dB, dL, dH, dx,dy,dz представляють собою поправки до старих значень розмірів еліпсоїда (a,) і координат (B,L,H,X,Y,Z) довільної точки простору для отримання нових значень цих величин в другій системі геодезичних координат.

Часткові похідні в рівняннях ( 3.49) знаходимо шляхом диференціювання по відповідних змінних правих частин рівнянь (3.43). Раніше (див. п.3.5.2) нами вже отримано частину похідних (3.46). Аналогічним чином знаходять і інші похідні в (3.49).

Підставивши ці похідні в рівняння (3.49) та після відповідних перетворень, отримаємо остаточно

(3.50)

(3.51)

(3.52)

Умовою застосування вказаних диференційних формул є паралельність осей обертання та площин початкових меридіанів обох еліпсоїдів.

Отримані вище формули можуть використовуватись:

• для обчислення поправок в координати при переході до другої системи геодезичних координат (при відомих параметрах da, d, dx,dy,dz);

• для встановлення нової системи геодезичних координат (визначення вказаних п’яти невідомих параметрів).

Поправки da, d легко знайти, поскільки параметри еліпсоїдів, що застосовуються в практичних роботах, переважно відомі. Що стосується інших трьох поправок, то вони визначаються наступним чином. За геодезичними координатами декількох пунктів Q_i (i=1,2,...,n), відомими в двох системах координат, з допомогою формул (3.50-3.52) можна визначити лінійний зсув dx,dy,dz одної системи відліку геодезичних координат відносно другої.

Вказану задачу можна сформулювати ще так. Дано координати окремих пунктів геодезичної мережі - (X,Y,Z), визначених з допомогою GPS в системі WGS-84. Обчислити параметри перетворення для геодезичної мережі, у якій більшість пунктів є з відомими координатами B,L,H в системі деякого референцного еліпсоїда, причому деякі з них є спільними (відомі координати в обох системах відліку).

Розв'язування цієї задачі дістанемо за допомогою наступного алгоритму:

• для спільних пунктів виконуємо перетворення декартових X,Y,Z, заданих в системі WGS-84 в геодезичні B,L,H координати за допомогою формул ( 2.33));

• визначаємо три параметри перетворення dx,dy,dz на основі формул (3.50-3.52 );

• для пунктів GPS, які не належать до спільних, використовуючи параметри перетворення, знаходимо координати (B,L,H)_REF в системі референцного еліпсоїда;

Нехай референцна система XYZ визначена в іншій системі X₀Y₀Z₀ положенням початку координат dx,dy,dz і кутами _x, _y, _z, на які треба повернути систему XYZ відповідно навколо осей X, Y, Z, щоб ці осі стали паралельні відповідно осям X₀,Y₀, Z₀.

В такій постановці декартові координати із одної системи в іншу будуть перетворюватись за формулами:

(3.53)

(3.54)

При невеликих кутах повороту осей однієї системи координат відносно другої, що має місце в практиці, матриця перетворення R має елементи

(3.55)

У формулі (3.54) R’ - транспонована матриця R,  - масштабний множник. Для більшості задач, що виникають при переобчислені координат сучасних систем координат можна вважати, що =1.

Перетворення (3.54) називається ще перетворенням або трансформацією Гельмерта.

Формулу (3.54) можна представити і в такому виді:

(3.55)

Кожен пункт Q_i (i=1,2,...,n), координати якого відомі в двох системах координат, утворює систему рівнянь (3.55). Шукані параметри зв’язку двох систем координат можна обчислити з оцінкою точності, застосовуючи принцип найменших квадратів.

Розв'язування сформульованої вище задачі зв’язку двох систем координат дістанемо за допомогою наступного алгоритму:

1) для спільних пунктів виконуємо перетворення геодезичних координат B,L,H в декартові X,Y,Z за допомогою формул (2.32);

2) визначаємо шість параметрів перетворення dx,dy,dz і на основі формул (3.54) або (3.55).

3) для пунктів загальноземної системи координат, які не належать до спільних, використовуючи параметри перетворення, знаходимо координати (X,Y,Z)_REF в референцній системі;

4) перетворюємо обчислені в попередньому кроці координати із декартових (X,Y,Z)_REF в геодезичні (B,L,H)_REF.

Точність переобчислених координат буде залежати:

• від похибок формул, що застосовуються при обчисленнях;

• від методів переходу виміряних елементів геодезичних мереж на поверхню референц-еліпсоїда;

• від врівноважень, виконаних в геодезичних мережах кожної системи незалежно одна від другої.

7. Алгоритми та числові приклади розв’язування головних геодезичних задач.