3.5. Диференційні формули.

Диференційні формули встановлюють залежність між малими (диференційними) змінами координат початкової і кінцевої точок відповідної лінії (дуги великого кола на сфері, геодезичної лінії на еліпсоїді, хорди в просторі), її довжини та азимутів.

Застосування диференційних формул пов’язано, в основному, з розв’язуванням задач з переобчислення геодезичних координат на поверхні земного еліпсоїда чи геоцентричних прямокутних в просторі у випадках зміни вихідних координат, а також аналогічних задач у випадку зміни (уточнення) розмірів відлікового еліпсоїда. Особливо це може стосуватися задач, що виникають при поєднанні пунктів, координати яких віднесені до референцних та загальноземного еліпсоїдів та визначені різними методами (класичними і супутниковими, наприклад).

Диференційні формули дозволяють значно скоротити обчислювальну роботу, яка вимагається при подібному переобчислені вже врівноважених координат всіх опорних геодезичних пунктів. Це виявляється можливим тому, що повторне обчислення координат замінюється обчисленням незначних поправок до вже відомих координат пунктів. Такими формулами для обчислення поправок в координати та азимути напрямів і є диференційні формули.

Крім вищеназваних, диференційні формули можна використовувати і в інших задачах. Так в п. 3.6. буде наведена схема розв’язування оберненої геодезичної задачі, одним із важливих етапів якої є застосування диференційних формул для довжини геодезичної лінії та азимута цієї лінії.

3.5.1. Диференційні формули для геодезичної лінії.

Сім змінних B₁, L₁, B₂, L₂, s, A₁, A₂ геодезичної лінії зв’язані між собою складною залежністю, котра визначається формулами розв’язування головних геодезичних задач. З цих семи змінних чотири є незалежними; від них залежать решта три.

Зміну трьох залежних змінних представимо у вигляді повних диференціалів

(3.37)

Ці рівняння показують, як змінюється довжина геодезичної лінії та її азимути у випадку, якщо кінці цієї лінії отримують деякі малі зміщення, котрі виражені диференціалами координат. Рівняння (3.37) приймаються за вихідні співвідношення, з яких потім знаходять інші залежності між цими диференціалами.

Часткові похідні можна знайти, застосовуючи при цьому два підходи. Перший - менш строгий- полягає в тому, що при виводі формул користуються геометричним представленням часткових диференціалів, що складають праві частини рівнянь (3.37), а другий - строгий - в тому, що часткові похідні знаходять диференціюванням за відповідними змінними рівнянь, що використовують для розв’язування головних геодезичних задач. В курсах вищої геодезії [1,5,7] ці підходи розглядаються детальніше. Ми обмежимося лише готовими формулами, які будемо класифікувати за впливами:

• зміни широти B₂ на величини s, A₁, A₂ при постійній величині довготи L₂ та незмінному положенні початкової точки Q₁

(3.38)

Тут m - приведена довжина геодезичної лінії. Для більшості випадків її можна обчислити за формулою:

• зміни довготи L₂ на величини s, A₁, A₂ при постійній величині широти B₂ та незмінному положенні початкової точки Q₁

(3.39)

Аналогічні вирази будуть і в тому випадку, коли кінцева точка Q₂ залишається в незмінному положенні, а зміщення отримала початкова точка Q₁ . Різниця буде лише в тому, що у формулах (3.38) та (3.39) поміняються місцями індекси 1 і 2. Повні диференційні формули запишуться в цьому випадку в наступному виді

(3.40)

• зміни широти B₁ на величини B₂, L₂, A₂ при постійній величині довготи L₁ , азимута A₁ та довжини геодезичної лінії s

(3.41)

• зміни довжини геодезичної лінії s на величини B₂, L₂, A₂ при постійній величині широти B₁, довготи L₁ , азимута A₁

(3.42)

• зміни азимута A₁ на величини B₂, L₂, A₂ при постійній величині широти B₁, довготи L₁ та довжини геодезичної лінії s

(3.43)

Рис. 3.5 дає геометричне представлення про величини, що входять в диференційні формули (3.38)- (3.43).

Рис. 3.5

Всі наведені вище формули є наближеними, поскільки в них не прийняті до уваги диференціали другого і більш вищих порядків. Тому вони тим точніші, чим менші величини диференціалів незалежних змінних.