- •С.Г.Савчук
- •Передмова
- •Передмова до другого видання
- •Список літератури
- •1.2. Математичні та фізичні моделі Землі.
- •1.3. Системи координат, що застосовуються у вищій геодезіі.
- •1.4. Основи теорії поверхонь.
- •Розділ 2 геометрія земного еліпсоїда
- •Таблиця 2.1
- •2.3.1. Зв'язок між геодезичною, приведеною і геоцентричною широтами.
- •2.3.2. Зв’язки між різними видами координат.
- •З використанням введених позначень, формулу (1.8) із розділу 1, запишемо у виді
- •Рис 2.8
- •На основі (2.60) отримаємо
- •Розділ 3 розв’язування геодезичних задач
- •3.1. Види геодезичних задач.
- •3.2. Короткі історичні відомості.
- •3.4.1. Розв’язування сфероїдних трикутників.
- •Сферичний надлишок
- •Таблиця 3.1
- •Способи розв’язування малих сфероїдних трикутників а) за формулами сферичної тригонометрії
- •Б) за теоремою Лежандра
- •Згідно теореми Лежандра, значення кутів плоского (лежандрового) трикутника буде
- •В) за способом аддитаментів
- •Позначивши
- •Г) за виміряними сторонами
- •3.4.2. Розв’язування головних геодезичних задач а) на поверхні сфери
- •Б) на поверхні еліпсоїда
- •В) в просторі
- •3.5. Диференційні формули.
- •3.5.1. Диференційні формули для геодезичної лінії.
- •3.5.2. Диференційні формули для довільної точки простору.
- •3.5.3. Диференційні формули для системи геодезичних координат.
- •3.5. Диференційні формули.
- •3.5.1. Диференційні формули для геодезичної лінії.
- •3.5.2. Диференційні формули для довільної точки простору.
- •3.5.3. Диференційні формули для системи геодезичних координат.
- •3.7.1.Алгоритм та числовий приклад розв'язування прямої і оберненої геодезичних задач на поверхні сфери.
- •Обернена геодезична задача
- •Обернена геодезична задача
- •3.7.5. Алгоритм та числовий приклад розв'язування прямої та оберненої геодезичних задач на поверхні еліпсоїда на основі чисельного методу (формул Рунге-Кутта) а) алгоритм
- •Пряма геодезична задача
- •Обернена геодезична задача
- •Б) числовий приклад
- •Пряма геодезична задача
- •Обернена геодезична задача
- •3.7.6. Алгоритм та числовий приклад розв'язування прямої та оберненої геодезичних задач в просторі.
- •Обернена геодезична задача
- •Розділ 4 плоскі прямокутні координати гаусса-крюгера
- •4.1. Плоскі координати в геодезії.
- •4.4. Перетворення полярних координат.
- •4.5. Формули проекції Гаусса-Крюгера
- •4.5.2. Формули для обчислення зближення меридіанів
- •4.5.3. Формули для обчислення масштабу проекції
- •Таблиця 4.2
- •Таблиця 4.3
- •Таблиця 4.4
- •Таблиця 4.5
- •Тоді, згідно формули (4.37), для відносного спотворення відстаней, напишемо
- •Таблиця 4.6
- •Таблиця 4.11
- •4.8. Перетворення координат Гаусса-Крюгера із зони в зону.
- •Розділ 5 основи теоретичної геодезії
- •5.1. Сучасні поняття про фігуру Землі та її зовнішнє гравітаційне поле
- •5.2.1. Астрономо-геодезичні відхилення прямовисних ліній
- •5.2.2. Гравіметричні відхилення прямовисних ліній
- •5.2.3. Інтерполювання відхилень прямовисних ліній
- •5.3. Визначення відступів геоїда (квазігеоїда)
- •5.3.1. Астрономічне нівелювання
- •5.3.2. Астрономо-гравіметричне нівелювання
- •5.4. Система висот в геодезії
- •5.4.1. Поняття висоти
- •5.4.1. Ортометричні висоти
- •5.4.3. Нормальні висоти
- •5.4.4. Динамічні висоти
- •5.5.1. Поняття про редукційну задачу
- •5.5.2. Редукування лінійних вимірів
- •5.5.3. Редукування виміряних горизонтальних напрямів
- •5.6.1. Методи виводу розмірів земного еліпсоїда за градусними вимірюваннями
- •5.6.2.Встановлення вихідних геодезичних дат
- •5.6.3. Сучасні підходи до визначення параметрів фігури Землі
Розділ 2 геометрія земного еліпсоїда
2.1. Параметри земного еліпсоїда, зв'язки між ними.
Поверхня еліпсоїда утворюється від обертання еліпса навколо його малої (полярної) осі.
Рис. 2.1
Будь-який еліпс визначається розмірами його великої а і малої b півосей (рис 2.1). За розмірами півосей можна знайти положення фокусів F1 і F2 еліпса
Відносна величина, що визначається із співвідношення
(2.1)
називається першим ексцентриситетом еліпса.
Мають застосування і інші відносні величини:
другий ексцентриситет
, (2.2)
полярне сплющення (стиснення)
. (2.3)
Розміри еліпса визначаються розмірами його великої півосі а. Форма еліпса визначається однією із приведених вище відносних величин, найчастіше це сплющення.
Крім великої та малої півосей еліпса, часто застосовується ще одна лінійна величина, що визначається із співвідношення
(2.4)
Приведені лінійні та відносні величини еліпса називаються параметрами еліпса і відносяться також і до еліпсоїда обертання. Параметри а – велика (екваторіальна) піввісь еліпсоїда і b- мала (полярна) піввісь еліпсоїда або a і називають основними параметрами, що визначають еліпсоїд обертання, а квадрати першого та другого ексцентриситетів е2 та - похідними.
Між перерахованими величинами існують залежності. Так із (2.1) та (2.2) отримаємо:
,
,
, (2.5)
.
Враховуючи вище наведені залежності для полярного сплющення та першого ексцентриситета е отримаємо наступні формули зв'язку
(2.6)
Для виводу числових значень параметрів земного еліпсоїда, переважно великої півосі та сплющення, використовуються відповідні геодезичні, астрономічні, гравіметричні і супутникові виміри.
Для наближених розрахунків можна використовувати наступні значення:
a=6378 км,
а-b=21 км,
е2 2 .
Відомо багато еліпсоїдів, параметри яких визначались в різних регіонах Землі і названі на честь видатних вчених, керівників робіт, що їх визначали:
Таблиця 2.1
Назва еліпсоїда |
Екваторіальний радіус, м |
Сплющення |
Kрасовського(1940 Міжнародний(1924) Кларка(1880) Бесселя(1841) Ері(1830) Евереста(1830) Гельмерта (1906) WGS66(1966) GRS67(1967) WGS72(1972) GRS80 (1979) WGS84 |
6378245 6378388 6378249 6377397 6377563 6377276 6378200 6378145 6378160 6378135 6378137 6378137 |
1/298.3 1/297.0 1/293.46 1/299.15 1/299.32 1/300.80 1/298.3 1/298.25 1/298.25 1/298.26 1/298.26 1/298.26 |
Для еліпсоїда Красовського, що застосовується в геодезичних роботах в Україні, крім основних параметрів (див. табл. 2.1), згідно приведених вище формул зв'язку, маємо
b = 6356863.01877;
e2 = 0.006693421623;
На даний час, згідно резолюції XVII Генеральної Асамблеї Міжнародної геодезичної та геофізичної спілки (Канбера, 1979), офіційною референцною системою Міжнародної асоціації геодезії є Геодезична Референцна Система 1980 року -GRS80. Ця система визначає основні параметри загального земного (глобального) еліпсоїда. Серед них
a =6378137 м,
=,
e2 = 0.006694380023;
Відзначимо, що прийняття загального земного чи референц-еліпсоїда, тобто його розмірів, є одним з основних чинників, що характеризує певну систему геодезичних координат.
Рівняння поверхні еліпсоїда
Поверхня, як відомо із аналітичної геометрії, визначається рівнянням
F(x,y,z)=0 (2.7)
в прямокутних декартових координатах.
Поверхню можна ще визначити з допомогою трьох рівнянь:
(2.8)
що виражають координати x, y, z у функції довільних параметрів u, v. Виключивши ці парметри із трьох рівнянь (2.8), прийдемо до рівняння виду (2.7). Якщо в рівняннях (2.8) надамо параметрам u, v певні значення, то і для x, y, z отримаємо цілком визначені значення. Отже, кожній парі значень відповідає певна точка на даній поверхні.
Параметри u, відіграють, очевидно, роль координат на даній поверхні; їх називають криволінійними координатами.
Надамо параметру в рівнянні (2.8) яке-небудь постійне значення, а параметр u будемо змінювати. Рівняння (2.8) в такому випадку виражають x, y, z у функції одного довільного параметра u і, відповідно, визначають деяку лінію на поверхні. Змінюючи значення параметра, отримаємо множину ліній .
Цілком аналогічно маємо другу множину ліній . Лінії тієї і другої множини називаютьсякоординатними лініями; вони аналогічні прямим на площині, що визначаються рівняннями x=const і y=const.
Із аналітичної геометрії відомо, що рівняння поверхні двоосного еліпсоїда обертання може бути записане у вигляді
. (2.9)
Це-рівняння виду (2.7)
Для поверхні еліпсоїда обертання рівняння виду (2.8) матимуть вигляд
(2.10)
Виключення параметрів u, із рівнянь (2.10), як було сказано вище, повинно привести до рівняння (2.9). Із перших двох рівнянь (2.10) отримаємо
.
Це рівняння і третє рівняння (2.10) можуть бути написані в наступному виді
Їхня сума і дає нам рівняння (2.9).
Вияснимо геометричний зміст координатних ліній. Перш за все розглянемо лінію u=const.
Позначимо
(2.11)
тоді
-- рівняння кола (2.12)
Ці формули показують, що площина z=const (рис 2.2) паралельна площині ху і перетинає поверхню еліпсоїда по колу радіуса r.
Рис. 2.2
Коло u=const називається паралеллю, а параметр – широтою.
Паралель з найбільшим радіусом r=a (z=0) називається екватором. Екватор ділить еліпсоїд на дві симетричні половини.
Криві =const є еліпсами і утворюються в результаті перетину поверхні еліпсоїда площинами, що вміщують вісь z. Вони називаються меридіанами, а параметр , який для поверхні еліпсоїда позначається буквою – геодезичною довготою.
Якщо в рівнянні (2.9) виключити координати за (2.12), то отримаємо рівняння меридіана
(2.13)
Широта та довгота є криволінійними координатами точки на поверхні еліпсоїда; рівняння (2.13) – це рівняння еліпса, параметризоване широтою u, яка носить назву - п р и в е д е н а широта.
Приведена широта може бути побудована геометрично. Візьмемо відрізок прямої, рівний великій півосі еліпсоїда, і відкладемо його так, щоб один кінець відрізка лежав на поверхні еліпсоїда в деякій точці Q , а другий – на осі обертання еліпсоїда в точці Q’ (рис 2.3)
Гострий кут, утворений відрізком QQ’ з площиною екватора, називається приведеною широтою.
Поверхня може бути задана також змінним радіусом–вектором r, та геоцентричною широтою .
Геоцентричною широтою називається кут, утворений радіусом–вектором даної точки з площиною екватора.
Рис. 2.3
Із прямокутного трикутника (рис2.3) отримаємо
, (2.14)
або
(2.15)
Із трикутника (рис2.3) для радіуса-вектораотримаємо наступні вирази
(2.16)
а враховуючи (2.13), радіус-вектор еліпсоїда у функції геоцентричної широти буде
(2.17)
Зв’язки між координатами.