- •С.Г.Савчук
- •Передмова
- •Передмова до другого видання
- •Список літератури
- •1.2. Математичні та фізичні моделі Землі.
- •1.3. Системи координат, що застосовуються у вищій геодезіі.
- •1.4. Основи теорії поверхонь.
- •Розділ 2 геометрія земного еліпсоїда
- •Таблиця 2.1
- •2.3.1. Зв'язок між геодезичною, приведеною і геоцентричною широтами.
- •2.3.2. Зв’язки між різними видами координат.
- •З використанням введених позначень, формулу (1.8) із розділу 1, запишемо у виді
- •Рис 2.8
- •На основі (2.60) отримаємо
- •Розділ 3 розв’язування геодезичних задач
- •3.1. Види геодезичних задач.
- •3.2. Короткі історичні відомості.
- •3.4.1. Розв’язування сфероїдних трикутників.
- •Сферичний надлишок
- •Таблиця 3.1
- •Способи розв’язування малих сфероїдних трикутників а) за формулами сферичної тригонометрії
- •Б) за теоремою Лежандра
- •Згідно теореми Лежандра, значення кутів плоского (лежандрового) трикутника буде
- •В) за способом аддитаментів
- •Позначивши
- •Г) за виміряними сторонами
- •3.4.2. Розв’язування головних геодезичних задач а) на поверхні сфери
- •Б) на поверхні еліпсоїда
- •В) в просторі
- •3.5. Диференційні формули.
- •3.5.1. Диференційні формули для геодезичної лінії.
- •3.5.2. Диференційні формули для довільної точки простору.
- •3.5.3. Диференційні формули для системи геодезичних координат.
- •3.5. Диференційні формули.
- •3.5.1. Диференційні формули для геодезичної лінії.
- •3.5.2. Диференційні формули для довільної точки простору.
- •3.5.3. Диференційні формули для системи геодезичних координат.
- •3.7.1.Алгоритм та числовий приклад розв'язування прямої і оберненої геодезичних задач на поверхні сфери.
- •Обернена геодезична задача
- •Обернена геодезична задача
- •3.7.5. Алгоритм та числовий приклад розв'язування прямої та оберненої геодезичних задач на поверхні еліпсоїда на основі чисельного методу (формул Рунге-Кутта) а) алгоритм
- •Пряма геодезична задача
- •Обернена геодезична задача
- •Б) числовий приклад
- •Пряма геодезична задача
- •Обернена геодезична задача
- •3.7.6. Алгоритм та числовий приклад розв'язування прямої та оберненої геодезичних задач в просторі.
- •Обернена геодезична задача
- •Розділ 4 плоскі прямокутні координати гаусса-крюгера
- •4.1. Плоскі координати в геодезії.
- •4.4. Перетворення полярних координат.
- •4.5. Формули проекції Гаусса-Крюгера
- •4.5.2. Формули для обчислення зближення меридіанів
- •4.5.3. Формули для обчислення масштабу проекції
- •Таблиця 4.2
- •Таблиця 4.3
- •Таблиця 4.4
- •Таблиця 4.5
- •Тоді, згідно формули (4.37), для відносного спотворення відстаней, напишемо
- •Таблиця 4.6
- •Таблиця 4.11
- •4.8. Перетворення координат Гаусса-Крюгера із зони в зону.
- •Розділ 5 основи теоретичної геодезії
- •5.1. Сучасні поняття про фігуру Землі та її зовнішнє гравітаційне поле
- •5.2.1. Астрономо-геодезичні відхилення прямовисних ліній
- •5.2.2. Гравіметричні відхилення прямовисних ліній
- •5.2.3. Інтерполювання відхилень прямовисних ліній
- •5.3. Визначення відступів геоїда (квазігеоїда)
- •5.3.1. Астрономічне нівелювання
- •5.3.2. Астрономо-гравіметричне нівелювання
- •5.4. Система висот в геодезії
- •5.4.1. Поняття висоти
- •5.4.1. Ортометричні висоти
- •5.4.3. Нормальні висоти
- •5.4.4. Динамічні висоти
- •5.5.1. Поняття про редукційну задачу
- •5.5.2. Редукування лінійних вимірів
- •5.5.3. Редукування виміряних горизонтальних напрямів
- •5.6.1. Методи виводу розмірів земного еліпсоїда за градусними вимірюваннями
- •5.6.2.Встановлення вихідних геодезичних дат
- •5.6.3. Сучасні підходи до визначення параметрів фігури Землі
5.4.3. Нормальні висоти
Ортометричні висоти мають суттєвий недолік принципового характеру – вони не можуть бути обчислені точно, оскільки при цьому, як вже вище зазначалося, необхідно задаватися тією чи іншою моделлю розподілу мас в тілі Землі. Від цього недоліку ортометричних висот вільні нормальні висоти, які ввів Молоденський при розробці загальної теорії фігури Землі [11].
Нормальною висотою НМ точки М фізичної поверхні Землі (рис.5.3) називається відрізок М0М2 силової лінії, що проходить через точку в полі нормального потенціалу сили ваги, між рівневими поверхнями(рівневий еліпсоїд) і.
Рис. 5.3
Числове значення нормальної висоти одержують за формулою
, (5.34)
де – середнє значення нормальної сили ваги по лініїМ0М2. За аналогією з отриманням виразу (5.33), формулу (5.34) можна перетворити
. (5.35)
З формули видно, що перший член представляє суму виміряних перевищень в нівелірному ході, другий член є поправкою за непаралельність рівневих поверхонь нормального поля сили ваги, а останній член – це поправка за відхилення дійсного гравітаційного поля Землі від нормального.
Якщо від точок фізичної поверхні Землі відкласти по силових лініях нормального гравітаційного поля вниз їх нормальні висоти, то отримаємо поверхню квазігеоїда. Тоді нормальну висоту можна розглядати як висоту точки фізичної поверхні Землі над квазігеоїдом.
Геодезична висота точки дорівнює сумі нормальної висоти і аномалії висоти . Аномалія висоти дорівнює відрізку і називається висотою квазігеоїда над відліковою поверхнею (див. рис. 5.3). Суттєвих поправок за те, що геодезичні висоти відкладають не по силових лініях нормального поля, а по нормалях до еліпсоїда, не виникає. Якщо відліковою поверхнею є референц-еліпсоїд, то
, (5.36)
а якщо рівневий еліпсоїд нормального поля, то
. (5.37)
Висоти визначають за допомогоюглобальних гравітаційних моделей Землі, висоти (аномалії висот) методом астрономічного чи астрономо-гравіметричного нівелювання.
Перевагою нормальних висот над ортометричними є те, що вони відповідають такому поділу геодезичної висоти H на гіпсометричну і геоїдальну складові, при якому кожна з них може бути однозначно і строго визначена лише за вимірами на фізичній поверхні Землі.
Порівнюючи формули (5.33) і (5.35), можна побачити, що ортометричні висоти відрізняються від нормальних на величину
, (5.38)
яка визначається наближено. Ця величина якраз характеризує відступи квазігеоїда від геоїда. Якщо приймемо ,та, то різниця; для більш рівнинних районів притарізниця буде біля. З аналізу виразу (5.38) можна зробити висновок, що квазігеоїд співпадає з геоїдом, колиабо. Це означає співпадання ортометричних і нормальних висот на рівні моря, а також в точках земної поверхні, де.
Якщо ходом нівелювання є замкнутий полігон , то повинна виконуватися рівність
. (5.39)
Теоретична нев’язка в такому полігоні визначиться, як
. (5.40)