4.5.2. Формули для обчислення зближення меридіанів

Для визначення зближення меридіанів скористаємось другою формулою (4.4)

(4.22)

часткові похідні в якій знайдемо на основі формул (4.15). Отримаємо

(4.22’)

Підставивши значення похідних у (4.22), отримаємо

(4.23)

Значення коефіцієнтів даються виразами (4.16), підставивши які в (4.23) і виконавши елементарні математичні перетворення, остаточно отримаємо

(4.24)

Аналогічним чином можна знайти вираз для обчислення зближення меридіанів за плоскими прямокутними координатами, тільки при цьому за вихідну беруть другу формулу (4.8)

Приведемо остаточну формулу для зближення меридіанів у функції плоских прямокутних координат

(4.25)

У формулах (4.24) і (4.25) не враховано члени з . Точність приведених формул забезпечує обчисленняв.

Знак зближення меридіанів співпадає зі знаком різниці довгот або знаком, тобто для точок, які розташовані на схід від осьового меридіану, зближення меридіанів завжди буде додатнім, а на захід від нього - від’ємним.

4.5.3. Формули для обчислення масштабу проекції

Для знаходження формули масштабу зображення скористаємось формулою (4.5), яку представимо у вигляді

(4.26)

Вирази для часткових похідних нами вже отримано - ф-ли (4.22’). Підставивши квадрати цих виразів у (4.26) і додавши їх, отримаємо

В цій формулі збережено члени порядку . З врахуванням виразів для(без сфероїдних членів при) та простих алгебраїчних перетворень остаточно знаходимо

(4.27)

Як видно із даної формули, при , тобто на осьовому меридіані, масштаб проекції рівний одиниці. При віддалені від осьового меридіана на схід і на захід значення масштабу швидко зростає.

Для отримання формули масштабу зображення у функції плоских прямокутних координат скористаємось другою формулою (4.19), яку, з прийнятими вище обмеженнями, запишемо

Застосовуючи формули обертання ряду для , знайдемо

звідки з прийнятою точністю

З врахуванням останніх двох виразів формулу (4.27) можна записати у наступному вигляді

(4.28)

Оскільки

де - середній радіус кривини еліпсоїда, то остаточно отримаємо

(4.29)

В останньому члені формули (4.29) замість приведено, що викличе похибку порядкуна сфероїдні члени, якими знехтувано у членах порядку.

Масштаб зображення є дуже важливою характеристикою конформної проекції. Згідно формули (4.28) або (4.29) можна встановити величини і розподіл лінійних спотворень при переході з еліпсоїда на площину. Так легко замітити, що із збільшенням ординати лінійні спотворення зростають пропорційно; постійному значенню ординативідповідає практично постійна величина масштабу. Величина радіуса

із зміною широти змінюється звісно, але досить незначно. Тому лінії рівних спотворень довжин в проекції Гаусса-Крюгера розташовуються практично паралельно осі абсцис на всій смузі проекції від екватора до полюса, а звідси виходить, що проекцію Гаусса-Крюгера найбільш оптимально застосовувати для зображення смуги, яка витягнута на еліпсоїді з півдня на північ. Межами такої смуги служать лінії рівних спотворень довжин .

4. Формули для редукування напрямів і відстаней

Під редукуванням напрямів і відстаней розуміють перехід від напрямів і довжин геодезичних ліній на еліпсоїді до відповідних їм величин на площині. Редукція напрямів полягає у визначенні поправки за кривину зображення геодезичної лінії на площині, а редукція відстаней - знаходженні різниці довжини геодезичної лінії та хорди зображення геодезичної лінії. Після введення цих редукцій у виміряні величини, які приведені на поверхню еліпсоїда, ми отримаємо геодезичну мережу, редуковану з еліпсоїда на площину.

На практиці редукування мережі 1–го класу на площину проводиться тільки в окремих випадках і не має широкого розповсюдження, тому при виводі формул будемо орієнтуватися на мережі нижчих (2-4) класів.

Для редукування напрямів вважатимемо, що AB є геодезичною лінією на поверхні еліпсоїда в складі деякої замкнутої геодезичної фігури ABDC (рис. 4.5.б).

а) б)

Рис.4.5

Нехай геодезична лінія AB зображена на площині в виді кривої (рис. 4.5.а). Кути в точках і між дотичними до кривої і хордою позначимо через і . Координати точок і позначимо через і . Нехай точки і є основами ординат точок і відповідно. Із-за конформності проекції фігури ABCD і A’B’C’D’ будуть подібними, а відповідні кути у них рівними. Суми внутрішніх кутів складуть:

• на еліпсоїді ;

• на площині .

Значить, , тобто сферичний надлишок рівний сумі поправок взаємнообернених напрямів. Як відомо (див. розділ 3), сферичний надлишок визначається формулою

де - площа фігури A’B’C’D’; .

Тоді

Приймаючи наближено, , отримуємо

. (4.30)

На практиці потрібно знати не тільки величину кута для даного напряму, але і як ввести його в цей напрям, щоб перейти на площині від кривих ліній до їхніх хорд. Оскільки відрахування кутів ведеться за ходом годинникової стрілки, то із рис. 4.5.а) легко видно, що для переходу від напрямудо хордикутпри точціпотрібно відняти від напряму, а при точці- додати до напряму. Отже,поправки іу взаємні напрями мають протилежні знаки:

(4.31)

Формулами (4.31) користуються для редукування напрямів в тріангуляції 3 класу і нижче.

Поправки за редукцію алгебраїчно віднімаються від виміряних напрямів.

Значення редукованих плоских кутів A’,B’ і C’ за виміряними на фізичній поверхні і приведеними на еліпсоїд кутами A,B і C трикутника ABC отримують наступним чином

Сума поправок за редукцію кутів трикутника рівна його сферичному надлишку з оберненим знаком, що служить контролем обчислення та . Справді,

В тріангуляції 2-го класу для обчислення поправок за кривину зображення геодезичних ліній застосовують більш точні формули, які приведемо без доведення

(4.32)

де - середній радіус кривини, обчислений за широтою середньої точки заданої геодезичної лінії.

Як видно з наведених формул, для обчислення редукцій повинні бути відомі плоскі прямокутні координати початкового і кінцевого пунктів. Визначимо необхідну точність цих координат. Для цього достатньо дослідити формулу (4.30). Продиференціювавши дану формулу за координатами і, знаходимо

.

Позначивши , отримаємо

.

Нехай:

• для тріангуляції 2-го класу км (на краю шестиградусної зони); км, тоді м;

• для тріангуляції 3-го класу км; км, тоді м.

Стосовно опрацювання кутомірних вимірювань нижчих класів (розрядів), то поправки за кривину (в межах шестиградусних зон) можна обчислювати за наближеною формулою:

,

а наближені координати пунктів можна вибрати із карти або схеми геодезичної мережі.

Нижче наводиться таблиця абсолютних величин поправок (редукцій) за кривину зображення геодезичної лінії для різних значень та

Таблиця 4.1

км ,км	50	100	150	200	250
5	0.6”	1.2”	1.9”	2.5”	3.2”
10	1.3”	2.5”	3.8”	5.1”	6.4”
20	2.5”	5.0”	7.7”	10.1”	12.6”

Як видно із таблиці 4.1, в знімальних мережах (км) поправками за кривину, через їх незначні величини, в порівнянні з похибками вимірювання кутів, можна нехтувати.

Перед виводом формул для редукцій відстаней розглянемо спочатку питання про різницю в довжинах зображення дуги геодезичної лінії на площині та хорди , шо стягує цю дугу.

Нехай на рис.4.6 - зображення дуги геодезичної лінії на площині; - її хорда; - кут між хордою і початковим елементом дуги . Тоді можемо записати

Згідно таблиці 4.1, значення кута при стандартних довжинах сторін геодезичних мереж. Тому для малих кутів можемо записати

Отже, з похибкою на величину можна прийняти, що , тоді

Рис.4.6

Із (4.12) можемо записати інтеграл

, (4.33)

де масштаб визначається формулою (4.29).

Знайти інтеграл (4.33) в замкнутій формі надзвичайно трудно, поскільки масштаб зображення є досить складною функцією довжини геодезичної лінії. Проте такі фактори як порівняно невелика довжина геодезичної лінії (<30 км) і незначне віддалення від осьового меридіану () спрощують задачу знаходження інтегралу (4.33), і її розв’язання можна буде шукати наближеними методами.

Одним із наближених методів обчислення вказаних означених інтегралів є чисельний метод. Конкретно для даного випадку можна застосувати формулу Сімпсона, розділивши інтервал інтегрування на дві частини. Тоді інтеграл (4.33) може бути представлений наступним наближенням

(4.34)

де

(4.35)

Якщо обчислення проводяться з геодезичними координатами, то для масштабів зображення можна використати формулу (4.27)

При довжинах ліній, що не перевищують 30 км, у всіх трьох виразах для масштабу зображення радіус кривини можна обчислювати тільки для середньої точки, а в членах четвертого порядку прийняти .

Для ординат можемо записати такі очевидні співвідношення

Підставивши в рівняння (4.34) вирази для масштабів (4.35) та використавши приведені вище співвідношення, отримаємо остаточну формулу

(4.36)

Із отриманої формули видно, що лінія на площині в проекції Гаусса-Крюгера завжди довша від ліній, що зображуються з еліпсоїда. Третій і четвертий члени формули (4.36) при км (максимально можливі значення на краю шестиградусної зони) і км складають 6 і 8 мм відповідно, тому в роботах, де не вимагається висока точність або коли розміри зони є меншими (), можна користуватися формулою

. (4.36’)

Підрахуємо тепер, з якою похибкою допустимо знати в (4.36) ординату середньої точки редукованої лінії.

При похибці в , рівній, отримаємо впохибку, згідно (4.36’), рівну

звідки

.

Якщо поставити вимогу, щоб не перевищувало 0.001 м, то, приймаючикм,км ікм, отримаємо, щом.

6. Практика застосування проекції Гаусса-Крюгера.

Областю зображення або областю розповсюдження системи плоских прямокутних координат є к о о р д и н а т н а з о н а, обмежена двома меридіанами, з різницею довгот в , переважно в 6^о - шестиградусна зона. Номерація зон, а відповідно і довгота осьового меридіана, пов’язана з прийнятою номенклатурою карт. Кожна шестиградусна зона відповідає одній колоні листів карти масштабу 1:1 000 000 і, якщо N є номером колони, то номер шестиградусної зони n визначається за формулою .

Осьовий меридіан шестиградусної зони проекції Гаусса-Крюгера збігається із середнім меридіаном відповідної колони карти масштабу 1:1 000 000. Звідси виходить, що довгота осьового меридіана може бути знайдена за формулою . Довгота межового меридіана шестиградусної зони відносно осьового рівна .

В топографічних роботах крупного масштабу застосовуються триградусні зони, а в спеціальних роботах можуть і ще вужчі, але при цьому координати опорних пунктів даються і в шестиградусній зоні.

Прямолінійне зображення осьового меридіана і екватора, які приймаються за осі декартових координат, дозволяють створити в кожній координатній зоні самостійну систему плоских координат, яка використовується у всіх видах геодезичних і топографічних робіт, що виконуються в межах однієї зони.

Системи координат в кожній зоні проекції Гаусса-Крюгера абсолютно ідентичні: плоскі координати x і y, обчислені за геодезичними координатами в будь-якій координатній зоні, мають одні і ті ж значення.

Для однотипного способу аналітично виражати положення будь-якої точки земної поверхні Баумгарт (1919) вніс пропозиції:

• оптимальним вважати поділ на триградусні зони;

• виключити з вжитку від’ємні ординати шляхом додавання до них 500 000 м;

• за осьові меридіани прийняти меридіани 3, 6, 9, 12^о, … східної довготи, відносячи їх до Грінвіча, а перед ординатою вказувати відповідні їм номери