2.4.4. Статистичні фільтри
Статистичні фільтри (СФ) формують оцінку фільтрованого сигналу як зважену суму відліків z(kTo), z[(k-1)To], z[(k-2)To],... В аналоговому варіанті СФ описується таким рівнянням:
n
yф(t) = z(t) Wф(р) = z(t) å bi exp (- pToi), (2.34)
i
= 0
де Wф(р) – передатна функція фільтра; bi - його параметри; i Î 0, n – порядок статистичного фільтра. В дискретному варіанті загальна фор-мула статистичного фільтра має такий вигляд
n
yф(kTo) = å bi z[(k - i)To]. (2.35)
i = 0
Для випадку, коли i = 0, формула (2.35) набуде такого вигляду:
yф(kTo) = bо z(kTo), (2.36) причому bо < 1, тобто зміст такої фільтрації полягає у зниженні впливу шумів на корисний сигнал за рахунок зменшення сигналу z, однак у цьо-му випадку фільтр дає зміщену оцінку сигнала за рахунок того, що
myф ¹ my = mz.
Щоб зробити оцінку незміщенною, формулу (2.36) записують так
yф(kTo) = bо z(kTo) + a, (2.37) і далі, знаходячі а отримують формулу незміщенного СФ нульового по-рядку
yф(kTo) = bо z(kTo) + my(1 - b). (2.38) Якщо оцінка my відома зі значною похибкою, то застосування цього СФ приводить до великих помилок фільтрації. Розв’язання задачі параме-тричної оптимізації (2.24) цього фільтра приводить до такої формули ви-значення оптимального значення параметра фільтра:
bo* = Dy/ (Dе + Dy), (2.39) або для умов (2.23)
bо*= 1/ (k + 1). (2.40)
Для випадку, коли i = 1, формула (2.35) набуде такого вигляду:
yф(kTo) = bо z(kTo) + b1 z[(k – 1)To]. (2.41) Це зміщений СФ першого порядку. Увівши умову незміщеності оцінки mуф= my = my(bо + b1), отримаємо b1 = 1 – bо, звідки
yф(kTo) = bо z(kTo) + (1 - bо) z[(k – 1)To]. (2.42) Це незміщений СФ першого порядку, що просто реалізується програм-ним шляхом і тому має приблизно таке ж поширення, як і ЕФ. Задача параметричної оптимізації цього фільтра для умов (2.22, 2.23) також мо-же бути розв’язана аналітично з допомогою співвідношення
bо = 0,5 { 1 + [DRу / (DRу + DRе)]}, (2.43) де DRу = Rу(0) – Rу (To), DRе = Rе(0) – Rе (To).