2.4.2. Фільтр ковзного середнього
Цей фільтр на практиці реалізується, як правило, програмним шля-хом. Фільтрація сигналу досягається за рахунок обчислення середнього на деякому ковзному інтервалі часу. Розрахункова формула дискретного фільтра ковзного середнього (ФКС) має такий вигляд
b - 1
yф (kTо) = b-1 å z [(k - i)Tо], (2.28)
i = o де b – пам’ять фільтра, тобто кількість значень сигнала z, за якими ро-блять усереднення.
ФКС є однопараметричним і р = b. Щоб отримати оптимальне зна-чення b необхідно розрахувати Dф за допомогою співвідношень (2.25 – 2.27). Аналітичне вирішення цієї задачі приводить до досить складних виразів, тому тут використовують або номографований числовий метод ви-значення b за відомими значеннями k,m і a [5] , або експерименталь-ний метод. Порівнювальний аналіз показує, що ФКС дає найбільшу похибку фільтрації порівняно з іншими дискретними типовими фільтрами і потребує більшої пам’яті, тому його застосовують при розв’язанні тих задач, в яких необхідно розраховувати усереднене значення змінної.
2.4.3. Експоненціальний фільтр
Експоненціальний фільтр (ЕФ) – найпоширеніший з типових фільт-рів, який використовують як в аналоговому, так і в дискретному виг-ляді. В аналоговому вигляді ЕФ – аперіодична ланка першого порядку з коефіцієнтом передачі kф = 1 ( з умов незміщенності оцінки)
Tф (dyф/ dt) + yф = z, (2.29) де Tф – постійна часу фільтра. При вирішенні задачі (2.24) оптимальне значення Tф визначають експериментально.
При переході до дискретного варіанта ЕФ рівняння (2.29) набуде та-кого вигляду:
(Tф / Tо) { yф(kTо) – yф[(k – 1)Tо]} + yф(kTо) = z(kTо), (2.30) а після перетворень і заміни Tо/(Tф + Tо) = g отримаємо розрахункову формулу дискретного експоненціального фільтра
yф(kTо) = g z(kTо ) + (1 – g) yф[(k – 1)Tо]. (2.31) Як видно з рівняння (2.31), експоненціальний фільтр є також однопара-метричним. При розв’язанні рівнянь (2.25 - 2.27 та 2.31) одержимо
Dф = Dy [ a/(g + a) + kg/( g + am)]. (2.32) Якщо для розв’язання задачі (2.24) продиференціювати (2.32) і розв’яза-ти рівняння dDф/ dg = 0, то формула для розрахунку оптимального зна-чення g буде матиме такий вигляд:
g*
= a ( Ö km
–
m)
/ ( 1 –
Ö
km
).
(2.33)
Ця формула справедлива тільки за умови, що km > 1. При km < 1 g < 0 ( чисельник співвідношення (2.33) – від’ємний, знаменник – додатний), що не має фізичного змісту.
Перевагою ЕФ перед ФКС є, насамперед, менша ємність необхідної пам’яті. Крім того, ЕФ в аналоговому варіанті поступається за якістю фі-льтрації ОСФ тільки на 10 – 30%, а в дискретному, у разі неточного зна-ння математичного сподівання сигналу датчика (похибка понад 3%) – на 30 – 70% , що відповідає найліпшому результату серед аналогічних за складністю фільтрів. При точному знанні математичного сподівання сиг- налу датчика (похибка не більше 3%) краще використовувати статис-тичні незміщені фільтри, які в цьому разі поступаються ОСФ лише на 5 – 10 %.