2.4. Фільтрація сигналів і аналітичне градуювання датчиків

2.4.1. Загальна характеристика задачі фільтрації

Це друга задача ПОІ, яка проводиться для того, щоб відокремити ко-рисний сигнал датчика від шкідливих сигналів – шумів. У загальному ви-падку фільтрацією називають всяке інерційне перетворення сигналів. В АСК фільтрація може здійснюватися апаратурно – з допомогою аналого-вих RC-фільтрів, або програмно – з допомогою ЕОМ. Апаратурні фі-льтри, які найчастіше є аналоговими, як правило, мають меншу похибку перетворення сигналу і заощаджують машинний час, але вони потре-бують додаткових витрат на апаратурні засоби і за їх допомогою важко реалізувати складні алгоритми фільтрації. Тому на практиці більш поши-рені програмні фільтри, які є дискретними.

Якість фільтрації оцінюють за допомогою дисперсії похибки фільтра-ції, яка дорівнює математичному сподіванню квадрата різниці корисного y(t) та фільтрованого y_ф(t) сигналів

D_ф = M [ y(t) – y_ф(t) ]². (2.20) Можливе використання і інтегрального критерію якості фільтрації

Т

I_ф = Т^-1 ò êy(t) – y_ф(t) êdt . (2.21)

0

Фільтр вибирають з умов мінімізації наведених показників, ураховую-чи однак існуючу суперечність між точністю та вартістю. Існують два ме-тоди побудови оптимального фільтра:

• зміною структури та параметрів фільтра, при цьому розв’язується за-дача структурно-параметричної побудови оптимального фільтра;

• зміною параметрів попередньо вибраного фільтра типової структури, при цьому розв’язується параметричної оптимізації фільтра типової структури.

Застосовуючи перший метод, у результаті розв’язання задачі отри-мують оптимальний статистичний фільтр (ОСФ), однак на практиці його не використовують через складність структури та відсутність точних ста-тистичних характеристик випадкових процесів y(t) та e(t). У той же час ОСФ теоретично має мінімально можливу похибку фільтрації і тому мо-же бути застосований як еталон, тобто помилку реальних фільтрів визна-чають у відсотках похибки ОСФ.

Задачу параметричної оптимізації обраного типового фільтра розв’я-зують експериментально або аналітично для порівняно вузького, але на-йбільш поширеного набору вхідних даних, роблячи такі припущення:

• сигнал y(t) є стаціонарним випадковим процесом, для якого відомі оцінки математичного сподівання m_y, дисперсії D_y і автокореляційної функції

R_y(Dt) = D_y exp( – aDt) = R_y(0) exp( – aDt), (2.22)

• сигнал е(t) також є стаціонарним випадковим процесом некоре-льованим і адитивним сигналу y(t), для якого математичне сподівання m_e = 0, а автокореляційна функція

R_e(Dt) = D_e exp( – maDt) = kD_y exp( – maDt), (2.23) де a, m, k – коефіцієнти, причому k<1 (амплітуди шумів менші за амп-литуди корисного сигналу), а m>1(шуми більш високочастотні).

Отримана в результаті фільтрації оцінка y^ = y_ф повинна задоволь-няти таким вимогам:

• бути незміщеною (математичне сподівання не повинне змінювати-ся в результаті фільтрації): m_y = m_yф;

• оцінка дисперсії помилки фільтрації повинна бути мінимальною.

Остання вимога для типового фільтра задовольняється шляхом роз-в’язання задачі параметричної оптимізації

D^_ф min Þ p^*, (2.24)

p

де р, р^* – вектор параметрів фільтра та його оптимальне значення.

Розрахунок D_ф звичайно виконують в частотній області з викорис-танням спектральних щільностей

D_ф = p^-1 ò S_ф^(w) dw, (2.25)

де S_ф^(w) – оцінка спектральної щільності функції e_ф(t) = y_ф(t) – y(t), причому S_ф^(w) визначається за формулою

S_ф^(w) = S_e^(w) | W_ф(jw)| ² + S_y^(w)|W_ф(jw) –1|² , (2.26)

| W_ф (jw)| – модуль (амплітуда) АФХ фільтра; S_e^(w), S_y^(w) – оцінки спектральних щільностей відповідно функцій e(t) i y(t), які визначають-ся за формулами

S_y^(w) = 2 D_ya / ( a² + w²); S_e^(w) = 2 k D_y m a / [(ma)² + w²]. (2.27)

Розглянемо далі найпоширеніші типові фільтри: ковзного серед-нього, експоненціальний та статистичні.