3. Вибір періодичності опитування датчиків

2.3.1. Загальна характеристика задачі

Задачу вибору періоду опитування датчиків Т_о розв’язують з ураху-ванням двох суперечливих міркувань. Збільшення Т_о, з одного боку зни-жує завантаження процесора задачами ПОІ, а з другого боку, зростає по-хибка визначення x^(t) або y^(t) у моменти часу kT_о > t > (k–1)T_о. Здава-лося б, цю проблему легко можно вирішити вибираючи Т_о за допомогою теореми Котельнікова–Шеннона , але її використання наштовхується на ряд принципових ускладнень.

Реальні неперервні сигнали є кінцевими за часом, отже їх спектри не обмежені, тому w_З не можна визначити, а треба вибирати. Вибір w_З за цих умов призводить до втрати високочастотних складових спектра і, от-же, до похибки. Однак, якщо допустити обмеження з точності відтворе-ння y^(t), то наближене подання безперервного повідомлення у вигляді дискретної послідовності величин можливе. При цьому для підвищення точності відновлення використовують різні методи екстра- та інтерпо-ляції.

Методи екстраполяції використовують в оперативному керуванні ви-обництвом, коли необхідно визначити майбутні значення критерію керу-вання, тобто з деяким випередженням. Методи інтерполяції застосову-ють для відновлення значень параметра у моменти часу, що передують останній точці замірювання.

Як критерій найліпшого наближення поновлюваної оцінки z^ до його дійсного значення z застосовують одне з двох значень дисперсії похибки:

при керуванні технологічним процесом – максимальне можливе в ін-тервалі інтерполяції D_z._max;

при визначенні середніх величин – усереднене на інтервалі інтер-поляції D_z.сер.

При цьому існують два методи вибору Т_о: перший – точний, за авто-кореляційною функцією; другий – наближений, за реалізацією випадко-вого процесу.

2.3.2. Вибір періодичності опитування датчиків за автокореляційною функцією

Для розв’язання цієї задачі необхідно попередньо вибрати метод на-ближення відновленої функції z^(t) до дійсної z(t) за дискретними значе-ннями замірів z(kT_о). Найпростішим серед цих методів є метод східчас-тої екстраполяції, за яким

z^(t) = z(kT_о) при (k+1)T_о > t ³ kТ_о ,

z^(t) = 0 при kТ_о > t ³ (k+1)T_о . (2.8)

Графічна реалізація співвідношення (2.8) подана на рис. 2.5. Цей метод не потребує обчислень і тому широко використовується в мікро-процесорних контролерах (МПК), але він дає найбільшу похибку порів-няно зі складнішими методами, що потребують обчислень.

z

Дисперсія похибки такої екстраполяції

D _z.._e = M {z[(k+1)T_о] - z(kT_о)}², (2.9) а для стаціонарних випадкових процесів:

M{z[(k+1)T_о]} = M[z(kT_о)] = R_z(0) + m_z ²,

M{z[(k+1)T_о] × z(kT_о)} = R_z(Т_o) + m_z². (2.10)

Підставивши (2.10) в (2.9), отримаємо вираз для дисперсії похибки східастої екстраполяції:

D_z.e = 2 [R_z(0) – R_z(T_о)], (2.11)

де R_z(0), R_z(T_о) – значення автокореляційної функції відповідно при таких значеннях аргумента: Dt = 0 і Dt = T_о.

Якщо не вдається вибрати Т_о, що забезпечує необхідну точність, то вибирають більш точний метод поновлення z^(t). До таких належить, на-самперед, метод лінійної інтерполяції, при застосуванні якого дисперсія похибки інтерполяції зменшується у 3 рази порівняно до методу східчас-тої екстраполяції, а необхідна пам’ять збільшується у 2 рази:

D_z.e = 2 [R_z(0) – R_z(T_о)] /3. (2.12) Якщо лінійна інтерполяція проводиться за двома точками, то при парабо-лічній екстраполяції використовуються вже три точки, але суттєвого зменшення дисперсії цей метод не дає, тому поширення він не отримав.

Після проведення операцій фільтрації та аналітичного градуювання датчиків і отримання оцінки x^(t) максимально можливе значення диспе-рсії похибки ІВК буде визначатися двома складовими: дисперсією екст-раполяції D_x.e і дисперсією погрішності засобів вимірювання D_x.вим:

D_x.max = D_x.e + D_x.вим . (2.13)

Формула (2.13) справедлива в тому разі, коли похибка засобів ви-мірювання не залежить від значень вимірюваних величин, а системати-чна складова похибки вимірювання дорівнює 0. У разі використання схід-частої екстраполяції формула (2.13) має такий вигляд:

D_x.max = 2 [R_z(0) – R_z(T_о)] + D _x.вим . (2.14)

Усереднена на інтервалі інтерполяції дисперсія похибки має такий

вигляд: Т_о

D_x.max = 2 [R_х(0) – ò R_х(Dt) d(Dt)/Т_о] + D _x.вим. (2.15)

0

Вираз (2.14) можна використати для розв’язання таких задач:

прямої – визначення максимально можливої похибки ІВК при зада-ному значенні Т_о (застосовують для ІВК МПК),

оберненої – визначення Т_о, за якого максимально можлива похибка ІВК не перевищує заданого значення (застосовують для ІВК ЕОМ).

Використаємо вираз (2.14) для аналізу факторів, що впливають на дисперсію екстраполяції. Як видно з цього виразу, D_x.e залежить від двох факторів: Т_о і інтенсивності спаду автокореляційної функції R_х(Dt) (рис. 2.6). Як видно з рис. 2.6, при одному й тому самому Т_о дисперсія екстра-поляції менша у більш інерційному процесі. Водночас для отримання од-накової дисперсії екстраполяції у менш інерційному процесі треба ви-би рати менше Т_о.. З розглянутого можно зробити висновок, що бажано при підмиканні ІВК до ЕОМ розподіляти датчики на кілька груп з бли-зькими діапазонами розрахункових Т_о.

3. Вибір періоду опитування датчиків за реалізацією

випадкового процесу

Для розрахунку Т_о за допомогою співвідношення (2.14) необхідно мати автокореляційну функцію, одержання якої потребує досить знач-них додаткових обчислень. Крім того, іноді без розрахунку похибки конт-рольованої величини задаються тільки її відносним збільшенням за раху-нок квантування сигналу за часом або відносним збільшенням дисперсії D_x.e/D_x, де D_x – загальна дисперсія величини, що вимірюється, D_x = D_x.об + + D_x.вим, причому D_x.об – це дисперсія контрольованої величини x, яка ви-никла за рахунок випадкових процесів безпосередньо в самому об’єкті. Для визначення Т_о у цьому випадку використовують таке співвідноше-ння:

4Dt_спD_x.e/D_x³Т_о, (2.16) де Dt_сп – час спаду автокореляційної функції, тобто час, за який автоко-реляційна функція досягне значень 0,05R_x(0) ³ R_x(Dt_сп) . Як видно з ви-разу (2.16), для розрахунку періодичності опитування датчиків у цьому разі достатньо знати тільки Dt_сп, не знаючи всієї залежності R(Dt).

Мінімальне значення Dt_сп визначається за реалізацією випадкового процесу (рис. 2.7) за такою формулою:

(Dt_сп) _min = 1/ n_o = t_p/ N_o , (2.17)

де m_x – математичне сподівання випадкового процесу x(t); t_p – трива-лість реалізації випадкового процесу, яка вибирається такою, щоб N_o³100; де N_o – кількість перетинів випадковим процесом лінії марема-тичного споді-вання на часовому інтервалі t_p.

З допомогою формули (2.16) також можна розв’язати як пряму, так і обернену задачі.