3.3. Цепь переменного тока с активным сопротивлением

Все реальные электротехнические устройства, в которых электрическая энергия преобразу­ется в тепловую, обычно представляются только активным сопротивлением R. Условное обозначение его приведено на рис. 3.5, б. К таким устройствам мож­но отнести печи сопротивления, бытовые нагревательные приборы, лампы на­каливания, реостаты и другие приемники.

Пусть на вход цепи с резистивным элементом R (рис.3.5, а) подано сину­соидальное напряжение и = U_m sinωt

Для упрощения примем, что начальная фаза тока и напряжения ψ_u,i = 0 (рис.3.5,в). Необходимо установить, как изменяется сила тока и мощность этой цепи. Для нахождения мгновенного значения силы тока можно применить закон Ома. Ток в цепи i = = sin ωt = I_msin ωt,

где I_m= − наибольшее значение силы тока.

д)

в)

а)

б)

г)

Рис. 3.5. График мгновенной мощности в цепи переменного тока при активной нагрузке: а - цепь; б - условное обозначение активного сопротивления; в, д - график; г - векторная диаграмма тока и напряжения

Из уравнений тока и напряжения видно, что начальные фазы напряжения и тока одинаковы, т. е. ток и напряжение совпадают по фазе. Поэтому на вектор­ной диаграмме (рис. 3.5, г) векторы тока и напряжения совпадают.Отсюда i = , I_m =, I = Эти формулы отражают закон Ома для мгновенных, амплитудных и дей­ствующих значений силы тока и напряжения.

Мгновенное значение мощности равно произведению мгновенных значе­ний тока и напряжения р = u · i. Подставив в это выражение мгновенные значе­ния напряжения и тока, получим р = u · I = U_m sin ωt · I_m sin ωt = U_m · I_m sin² ωt =−cos2 ωt

или в действующих значениях тока и напряженияр= UI −UI cos2 ωt (3.12)

Таким образом, мгновенная мощность в любой момент времени состоит из постоянной мощности UI и переменной мощности UI cos2 ωt. Так как cos2 ωt может изменяться от +1 до -1, то мгновенная мощность изменяется от 0 до 2UI, т. е. будет пульсировать. Изменение мгновенной мощности графически изобра­жено на рис. 3.5, в.

Анализируя график мгновенной мощности, можно заметить, что мощность в течение периода остается положительной, хотя ток и напряжение меняют свой знак. Постоянство знака мощности указывает на то, что направление потока мощности за период неизменно. Электрическая энергия в этом случае переда­ется от источника к приемнику.

За период вторая составляющая мгновенной мощности равна нулю. В ре­зультате получим р = UI, которая от времени не зависит. Эта мощность равна средней мощности за период и называется активной мощностью р:

p=UI= I_m²R= (3.13) Единицей измерения активной мощности является ватт (Вт).

3.4. Цепь с катушкой индуктивности

На рис. 3.6, а приведена схема электри­ческой цепи с катушкой индуктивности. Допустим, что катушка индуктивности, обладая индуктивностью L, идеальная, т. е. активное сопротивление ее мало (R = 0).

Условное обозначение индуктивности приведено на рис. 3.6, б. При про­хождении по катушке переменного тока i = I_msin ωt в ней будет возбуждаться ЭДС самоиндукции е = −L,

значение которой пропорционально скорости изменения силы тока . При прохождении тока через нуль скорость изме­нения силы тока максимальна, максималь­на и ЭДС самоиндукции e_t. В моментвремени t = скорость изменения силытока равна нулю (=0), равна нулю иЭДС самоиндукции. В течение второй чет­верти периода скорость изменения силы тока увеличивается, растет и е_t. Знак ми­нус указывает на то, что ЭДС самоиндук­ции противодействует изменению силы тока в катушке: когда скорость измене­ния силы тока увеличивается, растет и ЭДС самоиндукции и наоборот.

Таким образом, мгновенное значе­ние ЭДС самоиндукции представляется синусоидой e_t (рис.3.6, в). Из графиков синусоид тока i и ЭДС e_t видно, что ЭДС самоиндукции отстает по фазе от тока в катушке на угол .

По закону Ленца ЭДС самоиндукции e_t имеет противоположное направление подведенному к катушке напряжению U_L, которое уравновешивает ЭДС самоиндук­ции e_L, т. е. находится в противофазе с е_L и на графике представлено синусоидой U_L. Из графиков видно, что напряжение на индуктивной катушке опережает ток по фазе на 90°.

Рис. 3.6. График мгновенной мощности в цепи переменного тока при индуктивном сопротивлении: а - цепь;б - условное обозначение индуктивного элемента;в, е- графики мгновенных значений тока, ЭДС и напряжения;г- график мгновенной мощности;д - векторная диаграмма тока, ЭДС и напряжения

а)б)д)е)

Действительно, u = − e_L = L = L= ωLI_mcos ωt = U_msin (ωt+90°)

u = U_msin (ωt+90°) (3.14)

Из равенства (3.14) можно записать U_m или U_m=ωLI_m . Следовательно, I = = (3.15)

Формула (5.15) представляет закон Ома для участка цепи с индуктивнос­тью, где ωL играет роль индуктивного сопротивления, которое пропорциональ­но частоте тока (ω= 2лf) и индуктивности катушки (L) и обозначается X_L = ωL. Произведение ωL имеет размерность сопротивления

[ωL] = ·Гн =·Ом-с = Ом

Индуктивное сопротивление с физической точки зрения не похоже на ак­тивное сопротивление, так как оно характеризует инерционные свойства цепи, обусловленные ЭДС самоиндукции цепи. Для получения индуктивного сопро­тивления в омах индуктивность нужно выражать в Гн. На основании изложен­ного, векторная диаграмма для цепи с индуктивным сопротивлением будет иметь вид, как на рис. 3.6, г. Наличие индуктивного сопротивления в цепи и его зави­симости L можно продемонстрировать на опыте. Собрав электрическую цепь с.последовательным соединением школьного трансформатора и лампочки на­каливания (75-100 Вт), подключите ее в сеть 220 В. Передвигая сердечник трансформатора, замечаем ослабление или усиление накала лампочки.

Мгновенное значение мощности

р=u · i= U_Lm sin(ωt+90°)·I_m sin ωt = U_Lm·I_m cos ωt · sinωt =0,5 U_Lm·I_m sin2 ωt = U_L·I sin2 ωt

т. e. p = U_L·I sin2 ωt (5.16)

График изменения мощности (рис.3.6, д) представляет собой синусоиду двойной частоты. Таким образом, средняя мощность за период равна нулю (р= 0), так как в цепи с индуктивностью преобразование электрической в другие виды энергии, кроме энергии магнитного поля (W =), не происходит. Мера обмена энергией между источником и индуктивной катушкой за еди­ницу времени, затрачиваемая на создание магнитного поля, называется реак­тивной мощностью и обозначается

Q = U_L·I =X_L I² (3.17)

Единицу мощности называют вар − вольт-ампер реактивный, в отличие от единицы активной мощности – ватт.

Реальная катушка отлича­ется от идеальной тем, что в ней идут преобразования электрической энергии в энергию магнитного поля и тепловую энергию. Поэтому реальная катушка должна быть представлена активным и реактивным элементами. Такое деление на два элемента искусственно, однако, представив реальную катушку из двух несовместимых элементов, один из которых характеризуется R, а другойX_L, дает возможность объяснить процесс преобразования энергию в магнитную и тепловую.