3.3. Кривые второго порядка

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Керченский государственный морской технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lektsii_vyssh_matem.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.02.2016

Размер:

1.46 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 157 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

x xA

. Отсюда x xA xB x ;

xA xB

xB x

Аналогично

yA yB

Рис.

3.7

Следствие. При делении отрезка пополам λ = 1, тогда

xA xB

;

yA yB

Примеры. 1. Построение прямой по уравнению, выделить и построить n , а . Найти n , a .

2.Привести общее уравнение прямой к виду с угловым коэффициентом, в отрезках и наоборот.

3.Проверить параллельность, перпендикулярность прямых. Найти угол между прямыми и точку пересечения.

4.Найти уравнение высоты, медианы в треугольнике. Найти уравнение прямой, параллельной стороне треугольника, проходящей через указанную вершину. Аналогично, с перпендикуляром.

3.3.	Кривые второго порядка
3.3.1 Окружность – геометрическое место точек (ГМТ) плоскости, равно-
удаленных на расстояние R от фиксированной точки плоскости – центра.
а) Каноническое уравнение окружности: x2 y2 R2 .
Центр окружности т.О(0;0), радиус R.
б) Смещенная окружность имеет уравнение: x 2			y 2		R2 .
Центр окружности т.С(α;β), радиус R.
3.3.2 Эллипс – ГМТ плоскости, сумма расстояний которых до двух фикси-
рованных точек плоскости – фокусов F1, F2 – постоянна и равна 2а.
а) Каноническое уравнение эллипса.				y
Выбор системы координат: ось ОХ проходит через				B2		M x,y
точки F1, F2; ось ОY – срединный перпендикуляр к от-						M x,y
точки F1, F2; ось ОY – срединный перпендикуляр к от-
резку F1F2, называемому фокусным расстоянием.							A2 x
Пусть F1F2 = 2с, с<a. Тогда в данной системе коорди-			A1 F1	0		F2	A2 x
нат т.F1(-c;0), т.F2(c;0), т.М(х,у) – текущая точка линии;
F1M, F2M – фокальные радиусы т.М (рис. 3.8).				B1
Геометрическое свойство эллипса: F1М + F2М = 2а;				Рис. 3.8
x c 2 y2 x c 2 y2 2a ;		x c 2 y2 2a x c 2 y2 ** 2;
							27

x2 2xc c2

y2 4a2 4a x c 2 y2 x2

2xc c2 y2

:4 ;

a2 xc

** 2 ;

x c 2 y2

a2 x2 2a2 xc a2c2 a2 y2 a4 2a2 xc x2c2 ;

x2 a2 c2 a2 y2 a2 a2 c2 ;

a2 c2 b2 ;

x2b2 a2 y2 a2b2

:a2b2 ;

– каноническое уравнение эллипса.

Свойства эллипса.

1.Уравнение имеет только четные степени х и у; кривая симметрична относительно ОХ и ОY и относительно начала координат, т.О(0,0) – центр эллипса.

2.Точки пересечения эллипса с осями координат:

С осью ОХ: у 0; x2 a2 ; x a . Эллипс пересекает ось ОХ в точках

A1 a;0 , A2 a;0 , называемых вершинами по оси ОХ.

Отрезок А1А2 = 2а называется (при а > b) большой осью эллипса; OA1 OA2 a – большая полуось эллипса.

С осью ОY:

x 0;

y2 b2 ;

y b . Эллипс

пересекает ось

ОY

в точках

B1 0; b ,

B2 0;b , называемых вершинами эллипса по оси ОY.

Отрезок B1B2 = 2b называется (при а > b) малой осью эллипса;

OB1

OB2

– малая полуось эллипса.

; y b

a2 x2

3. y

;

и существует, если

x2 a2

или

a ,

a x a

(от А1

до А2).

b y b (от В1 до В2).

;

и существует, если

Кривая расположена в прямоугольнике А1В2А2В1.

4. Степень вытянутости эллипса определяет параметр – эксцентриситет:

F1F2

или

a2 b2

A A

Если a = b, то имеем окружность с центром в т.О(0;0) и радиуса а. В этом

случае 0.

Если b 0 , то имеем отрезок А1А2

и 1.

Эллипс (при a b) получен равномерным сжатием окружности сверху – сни-

зу.

Аналогично можно рассмотреть случай, когда фокусы F1F2 расположены на оси ОY ( a b).

Пример. Построить кривую по ее каноническому уравнению	x2	y2
			1.
	9	4

б) Уравнение смещенного эллипса.

Если центр эллипса расположен в т. С(α;β), то его уравнение примет вид

Рис. 3.9

x 2 y 2 1.

a2 b2

При построении смещенного эллипса применяется преобразование системы координат – параллельный перенос (рис. 3.9).

ХОY – старая система координат; т.О(0;0) – начало координат; Х'СY' – новая система координат; т.С(α,β) – ее начало координат.

OX CX ' , OY CY' , масштабная единица одна и та же. Возьмем на плоскости произвольно т.М. В системе

ХОY ее координаты х,у; в системе Х'СY' – х',у', причем

x x' ; y y' .

Отсюда:

x' x y' y .

Сделаем в уравнении смещенного эллипса замену переменной по формулам

x' x				2		2
x' x	, получим каноническое уравнение эллипса				x'		y'	1.
					x'		y'
					2		2
y' y					a		b
Строим эллипс по его каноническому уравнению в системе Х'СY'.
Пример. Назвать и построить линию:		x 2 2	y 1 2	1.
Пример. Назвать и построить линию:		4	1	1.
		4	1

3.3.3 Гипербола – ГМТ плоскости, модуль разности расстояний которых до двух фиксированных точек плоскости – фокусов F1, F2 – постоянен и равен 2а.

а) Каноническое уравнение.

Выбор системы координат: ось ОХ проходит через фокусы F1, F2; ось ОY – срединный перпендикуляр к отрезку F1F2, называемому фокусным расстоянием,

F1F2 = 2с, c > a.

В данной

системе

координат т.F1(-c;0),

т.F2(c;0),

т.М(х,у) – текущая точка линии; F1M, F2M – фокальные

радиусы т.М (рис. 3.10).

Рис. 3.10

Геометрическое свойство гиперболы:

F1M F2 M

2a; F1M F2 M 2a ;

** 2 ;

x c 2 y2

2a ;

x c 2 y2

x2 2xc c2 y2 4a2 4a

x2 2xc c2 y2

:4 ;

x c 2 y2

xc a2 a

x c 2

* * 2 ; x2с2 2xca2 a4 a2 x2 2xca2 a2c2 a2 y2 ;

x2 c2 a2 a2 y2 a2 c2 a2 ;

c2 a2 b2 ;

x2b2 a2 y2 a2b2

: a2b2 ;.

x2 y2 1 – каноническое уравнение гиперболы. a2 b2

Свойства гиперболы.

1. Кривая симметрична относительно ОХ, ОY и начала координат, т.О(0,0) – центр гиперболы.

2. Пересечение гиперболы с ОХ: y 0 ;	x2	1	; x a . Точки А1(-а;0), А2(а;0)
	a2

называются действительными вершинами гиперболы, А1А2 - действительная ось гиперболы; А1А2 = 2а.

Ось ОY гипербола не пересекает, уравнение

b2 действительных ре-

шений не имеет. Говорят, что точки

B1 0; b , B2

0;b – мнимые вершины ги-

перболы; В1В2 – мнимая ось; В1В2 = 2b.

;

и существует для любых значений у.

2 x2

x a

1 ,

существует

при

x a,

т.е. в полосе

a x a

линия не существует.

Гипербола имеет две изолированные ветви с

вершинами А1(-а;0), А2(а;0).

4. При

x ветви гиперболы неограниченно приближаются к прямым,

называемыми асимптотами, уравнения которых y b x .

5. Разворот ветвей гиперболы определяет эксцентриситет

;

a2 b2

Пример. Построить кривую по ее каноническому уравнению

Если через фокусы F1, F2 проходит ось ОY, а ось ОХ есть срединный перпендикуляр к отрезку F1F2 = 2с, то, проведя аналогичные вычисления, получим кано-

ническое уравнение сопряженной гиперболы:	x2	y2	1	или	x2	y2	1	,
	a2	b2			a2	b2

действительная ось которой В1В2, мнимая – А1А2 (рис. 3.11).

Если асимптоты гиперболы – оси координат, то гипербола называется отнесенной к осям координат, ее уравнение xy k . Если k 0, ветви расположены в I и III координатных углах, если k 0 , то во II и IV координатных углах. Построение кривой осуществляется по точкам (рис. 3.12).

Рис. 3.11

Рис. 3.12

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 157 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.04.2019429.06 Кб3l (1).doc
#
08.02.2016419.33 Кб7Lab1.doc
#
08.02.2016515.33 Кб5Lab_2_Спецификации+физической+среды+Ethernet.pdf
#
08.02.201691.14 Кб17Lekcii_ravnovesie_po_Nehshu.doc
#
08.02.20163.5 Mб300lektsii_SM-2utverzhd.doc
#
08.02.20161.46 Mб29Lektsii_vyssh_matem.pdf
#
08.02.201659.86 Кб54Metodicheskie_ukazania_kr.docx
#
08.02.20161.6 Mб574Metodichka_po_voprosam_dlya_Sevastopolya.docx
#
08.02.2016688.13 Кб381Met_ukaz_Prakt_Makro_2009_ispr_2015.doc
#
19.08.2019100.86 Кб5Modul_OOT_dlya_MA.doc
#
08.02.2016107.09 Кб17moy_kursach нинидзе тсс.docx

Кривые второго порядка

3.3.1 Окружность – геометрическое место точек (ГМТ) плоскости, равно-

3.3.2 Эллипс – ГМТ плоскости, сумма расстояний которых до двух фикси-

3.3.3 Гипербола – ГМТ плоскости, модуль разности расстояний которых до двух фиксированных точек плоскости – фокусов F1, F2 – постоянен и равен 2а.