На рис. 4.7: АВ – хорда (секущая) кривой y x ;

АD – касательная к

y x в точке х;

BAC – угол

наклона хорды к оси ОХ ; tg BC

y

;

AC

x

DAC – угол наклона касательной к оси ОХ.

При x 0

и tg tg , т.е.

Рис. 4.7

lim tg lim

y

tg DC ; AC x ; y tg

DC ;

y DC

или y DC ,

x 0

x 0

x

AC

AC

x

dx

отсюда DC y' dx,

т.е. DC dy ; BD x ; y dy x .

Следовательно, дифференциал dy функции

y x

в точке х равен прираще-

нию ординаты точки касательной, проведенной к

y x

в точке х, если х получает

приращение x .

Определение. Производной высшего порядка от функции y x

называется

производная

порядка

выше

первого,

т.е.

y', y'', y''', ..., y n ,

при этом

y'' y' ', y''' y'' ', ..., y n y

n 1 .

Примеры. 1) Найти yIV , если y sin x .

y' cos x ;

y'' sin x; y''' cos x;

yIV sin x .

2) Найти yV , если

y 3x4

x2 x 2.

y' 12x3

2x 1;

y'' 36x2 2; y''' 72x ;

yIV 72; yV 0 .

Рассмотрим отношение

f x

, где функции

f x

и x определены и

x

дифференцируемы в некоторой окрестности точки x a ,

исключая, быть может

саму точку x a .

lim

f x

или

0

lim

f ' x

0

.

x a x

x a ' x

неопределенность

или

0

.

0

2x 1 '

Примеры.

1.

lim

2x 1

0

lim

lim

2x ln 2

ln 2 ln 2 .

x 0

sin x

0

x 0

sin x '

x 0

cos x

1

2.

lim

1 sin x

0

lim

cos x

lim

cos x

0

lim

sin x

1 .

x

x

2

0

x

x 1

x

2x

0

x

2

2

2

2

2

2

2

2

2

lim x ln x 0

lim

ln x

lim

1 x

lim x

0 .

3.

x 0

x 0 1 x

x 0 1 x2

x 0

4.10 Общая схема исследования функции

4.10.1 Область определения функции y x - совокупность тех значений х,

при которых

y x

вычисляется действительным конечным числом (или опреде-

лена, или существует).

y x

Если существует точка x a , в которой

не определена, то необходимо

вычислить односторонние пределы функции

lim y x ,

lim y x .

Если хотя бы

x a 0

x a 0

один из них бесконечный, то в точке x a

y x имеет разрыв II рода.

Определение.

Асимптотой кривой y x называется прямая линия (верти-

кальная

x a , наклонная

y kx b , горизонтальная

y b),

к которой неограни-

При этом может x или

y , или одновременно x и

y .

В случае, если y x в точке

x a имеет разрыв II рода, кривая

y x имеет

в этой точке вертикальную асимптоту, ее уравнение x a .

Примеры. 1) y

x 1

y

x

1

x

; 2)

; 3) y 2 x ; 4)

y e

x 1

.

x2 1

x 1

Определение.

Функция y x называется монотонной на (a; b), если она на

интервале или только убывает, или только возрастает, или постоянна.

Функция

y x

неубывающая на интервале, если она возрастает или постоян-

на на интервале.

Функция

y x

невозрастающая на (a; b), если она убывает или постоянна на

1) Если

y x

на (a; b) не убывает, то y' x 0 на (a; b).

2) Если

y x

на (a; b) не возрастает, то y' x 0 на (a; b).

Рис. 4.8

Достаточные условия монотонности функции y x .

Пусть y y x дифференцируема на (a; b).

1)

Если y' x 0

на интервале (a; b), то y x возрастает на (a; b).

2)

Если y' x 0

на интервале (a; b), то функция y x

убывает на (a; b).

3)

Если y' x 0

на интервале (a; b), то функция y x

постоянна на (a; b).

Определение. Точка x x0 называется точкой

максимума функции y x ,

Точка x x0 называется точкой минимума функции

y x , если для любого х

из некоторой окрестности точки x x0 y x y x0 .

Максимум max или минимум min

y x назы-

вается экстремумом функции. Это точечное (локаль-

ное) понятие. Экстремум y x может

достигаться

лишь внутри области определения y x .

Граничные

точки области определения не могут быть точками экс-

Рис. 4.9

тремума y x . На рисунке 4.9 y x достигает max в

Примеры.

1. На рис. 4.10 в точках экстремума

касательная к y x параллельна оси

ОХ , т.е. y' x0 0 .

Рис. 4.10

2. Пусть y 3

;

y' x

2

при x 0

y' x не

x2

;

33

x

существует; касательная к

y x

в точке

x 0 пер-

функции y 3 x2 (рис. 4.11).

Рис. 4.11

Непрерывная функция y x

может иметь экстремум только в точках, в кото-

ляют интервалы монотонности друг от друга.

Достаточные условия существования экстремума.

Пусть

y x

определена и непрерывна в точке x0 и y' x0 0 или

y' x0

не

существует.

y' x изменяет свой знак в окрестности критической точки

Тогда,

если

x0 ,

то точка x0

– точка экстремума y x . Если y' x изменяет свой знак с " "

на

" " , переходя через точку x0 в направлении возрастания х, то в точке

x0 функ-

ция y x имеет максимум (max) , если y' x изменяет свой знак с " "

на " " , то

в точке x0 функция y x имеет минимум (min).

Определение.

График y x

назы-

вается выпуклым на интервале a;b ,

если для любого

x a;b график рас-

положен

ниже

касательной

к

y x в

точке х.

График y x

вогнут на a;b , если

для любого x a;b график

y x рас-

положен

выше

касательной

к

y x в

Рис. 4.12

точке х (рис. 4.12).

Определение.

Точки графика y x , отделяющие ин-

тервалы вогнутости от интервалов выпуклости, называются

точками перегиба графика y x .

На рис. 4.13

x x0 – точка перегиба. Касательная к

y x в точке х0 расположена по обе стороны кривой.

Рис. 4.13

Необходимые и достаточные условия выпуклости-вогнутости графика

функции.

y x был выпуклым (вогнутым)

в интервале a;b ,

Для того, чтобы график

необходимо и достаточно, чтобы для любого x a;b y'' x 0

( y'' x 0 ).

Необходимые условия существования точки перегиба.

Если

точка

x x0 есть

точка перегиба графика

y x ,

то в этой точке

y'' x 0

или y'' x не существует.

Достаточные условия существования точки перегиба.

y'' x0

Пусть y x определена и непрерывна в точке x x0 и

y'' x 0 или

не существует. Тогда, если y'' x изменяет свой знак в окрестности точки

x x0 ,

то эта точка есть точка перегиба.

Вывод.