4.10.4Асимптоты
1)Вертикальные асимптоты имеют уравнение x a и существуют в точках x a ,
если хотя бы один односторонний предел y x |
при x a бесконечный. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2) Наклонные асимптоты имеют уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y kx b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Как следует из рис. 4.14, |
y x kx b x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
при этом, если x , |
то x 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Поделим обе части равенства на |
x 0, полу- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
чим k |
y x |
|
b |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.14 |
|
|
|||||
|
x |
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x |
|
b |
x |
|
|
y x |
|
|||||
Перейдем к пределу при x , получим:k lim |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
, т.к. |
||||||||||||||||||||
x |
x |
|
x |
|
x |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|||||||
lim b 0 |
и |
lim |
x |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
0 0 |
|
0 . Следовательно, |
k lim |
|
y x |
. Тогда |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||
x x |
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||
b lim y x kx x lim y x |
|||
x |
|
|
x |
b lim y x kx . |
|
||
x |
|
|
|
|
|
|
|
kx , т.к. |
lim x 0 . Следовательно, |
|
x |
|
Если k или b бесконечные или не существуют, то наклонных асимптот кри-
вая y x не имеет. |
|
Если k 0, то b lim y x . Если b – конечное число то кривая |
y x имеет |
x |
|
горизонтальную асимптоту, ее уравнение y b. |
|
4.10.5Четность, нечетность и периодичность функции
1) Условием четности y x является выполнение равенства y x y x .
Четные функции симметричны относительно оси ОY. |
|
2) Условием нечетности y x является равенство |
y x y x . Нечетные |
функции симметричны относительно начала координат О(0,0).
3)Периодичность: y x y x T , где Т – период функции.
4.10.6Нули функции и дополнительные точки
Точки пересечения графика y x с осями координат называются нулями
функции.
1) Чтобы найти точки пересечения графика с осью ОХ, необходимо решить
y y x
систему уравнений .
y 0
57