Вопросы для самопроверки

1)Что называется скалярной и векторной величиной?

2)Дайте определение коллинеарных, компланарных, равных векторов.

3)Что называется углом между векторами?

4)Как найти длину вектора, заданного двумя точками?

5)Дайте определение базиса на плоскости и в пространстве.

6)Какие операции над векторами называются линейными?

7)Что называется скалярным произведением векторов?

8)Приведите формулу скалярного произведения в координатах.

9)Каков физический смысл скалярного произведения?

10)Какая тройка векторов называется левой, а какая – правой?

11)Дайте определение векторного произведения, приведите его формулу и свойства.

12)Каков физический смысл векторного произведения?

13)Приведите понятие смешанного произведения.

Литература: [1], c.4-7, 20-39 Примеры: [2], c.44-52

3.АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

3.1.Линия на плоскости

Любую линию на плоскости ХОY будем рассматривать как множество точек, обладающих некоторым геометрическим свойством – геометрическое место точек

(ГМТ).

Обозначим: т.М(х,у) – произвольная или текущая точка линии; х,у - текущие координаты; т.М0(х0,у0) – фиксированная точка линии.

Определение. Уравнение F x,y 0 называется уравнением линии L, если координаты каждой точки линии удовлетворяют этому уравнению, и наоборот, если координаты какой-либо точки удовлетворяют этому уравнению, то данная точка принадлежит линии L.

Пример. Составить уравнение окружности с центром в т.С(α,β) и радиуса R. Определение . Окружность – ГМТ плоскости, равноудаленных на расстояние

R от фиксированной точки плоскости, называемой центром.

Пусть т.М(х,у) – текущая точка окружности и т.С (α,β) – центр окружности. Геометрическое свойство окружности: CM R или

23

xM xC 2 yM yC 2 R ; x 2 y 2 R . Таким образом, уравнение смещенной окружности с центром в т.С (α,β) и радиуса R: x 2 y 2 R2 .

Если 0, 0 , то центр окружности лежит в т.О(0,0) и уравнение имеет вид: x2 y2 R2 . Такое уравнение называется каноническим уравнением окруж-

ности.

Определение. Линия L называется алгебраической линией n-го порядка, если уравнение линии F(x,y) = 0 является многочленом n-го порядка относительно переменных х, у.

Примеры: x2 y2 R2 – линия 2-го порядка;

2x y 2 – линия 1-го порядка; y x3 – линия 3-го порядка.

Линия L, не являющаяся алгебраической, называется трансцендентной.

Примеры: y sin x, y cos x, y ln x, y ex .

3.2. Прямая линия на плоскости 3.2.1. Общее уравнение прямой

Определение. Любой вектор n A;B , перпендикулярный прямой линии L,

называется ее нормалью.

Прямая линия имеет бесконечно много векторов нормали, они коллинеар-

ны.

Уравнение прямой L вида Ax By C 0 называется общим уравнением

прямой на плоскости.

Геометрический смысл коэффициентов А, В при неизвестных: А, В - координаты вектора нормали n данной прямой.

24

4)А = 0; С = 0; Ву = 0, у = 0 – ось ОХ.

5)В = 0; С = 0; Ах = 0; х = 0 – ось ОY.

3.2.2. Прямая с угловым коэффициентом

Определение . Угловым коэффициентом k прямой Lназывается тангенс угла наклона φ прямой к оси ОХ, k tg (рис.3.2).

Определение . Любой вектор а , параллельный прямой L или расположенный на ней, называется направляющим вектором прямой.

Прямая имеет бесконечно много направляющих векторов, они коллинеарны.

y kx b – уравнение прямой с угловым коэффициентом. Геометрический смысл:

3.2.3.Прямая, проходящая через заданную точку М0(х0, у0)

с заданным угловым коэффициентом k (пучок прямых)

Пусть т. M0 x0 , y0 L , тогда ее координаты удовлетворяют уравнению пря-

мой: y0 kx0 b . Вычтем из уравнения y kx b полученное уравнение, в ре-

зультате получим: y y0 k x x0 . Это уравнение и называется уравнением пуч-

ка прямых с центром в т. M0 x0 , y0 .

3.2.4.Прямая, проходящая через две заданные точки

проходящей через две заданные точки.

Следствия.

1. Вектор M1M2 x2 x1; y2 y1 является направляющим вектором прямой.

25

3.2.5. Прямая в отрезках

Возьмем общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 и преобразуем его:

тогда ax by 1 есть уравнение прямой в отрезках; а – отрезок, отсекаемый прямой по оси ОХ; b – по оси ОY.

3.2.6. Взаимное расположение прямых на плоскости

y

Угол γ можно найти, используя понятие нормали:

3.2.7. Расстояние от точки до прямой

Чтобы найти расстояние от т. М0(х0 , у0) до прямой L: Ах + Ву + С = 0, необходимо в общее уравнение прямой, взятое по модулю, подставить координаты точки и поделить на модуль нормали n данной прямой:

3.2.8. Деление отрезка в данном отношении λ

Пусть задан отрезок АВ, т. А(хА, уА); т. В(хВ, уВ) и т.М(х, у) – делящая точка.

Определение. т. М(х, у) делит отрезок АВ в отношении λ, если AMMB .

26