называются точками разрыва.

1.Если левый предел lim y x

или правый lim y x , или оба предела бес-

x a 0

x a 0

конечные, то в точке x a функция

y x имеет бесконечный разрыв или разрыв

4.8.3 Свойства функций, непрерывных в точке

Пусть C const ,

f x и x непрерывны в точке x a .

Тогда непрерывными в точке x a будут:

1)

C f x ,

2)

f x x ,

3)

f x x ,

4)

f

x

при a 0 ,

x

5)

сложная функция

f x , состоящая из непрерывных в точке x = a функций.

пределы lim y x ,

lim y x .

x a 0

x b 0

число M 0 такое, что для x a;b

y x

M .

Рис. 4.3

Рис. 4.4

3. Если

y x

непрерывна на a; b и на концах интервала принимает значе-

ния

y a и

y b

разных знаков, то хотя бы в одной внутренней точке интервала

y x

обращается в ноль, т.е. график y x пересекает ось ОХ (рис. 4.4).

Пусть

x

– приращение

аргумента х.

Тогда

y

y x

y y x x y x

– соответствующее приращение

y x x

функции y x .

Отношение

y

называется средней

y

x

y x

x

скоростью функции y x на интервале длиной

x .

O

Определение.

Производной функцией

y x в

x

x x x

точке х называется

предел

отношения приращения

Рис. 4.5

функции y

к приращению аргумента x при усло-

вии, что последнее стремится к нулю ( x 0 ) и этот

предел существует.

Обозначается производная y' или

dy

, т.е. y' lim

y

.

dx

x 0

x

Действие отыскания производной y' называется

дифференцированием

функции y x .

Пример.

Найти производную y' функции y x2 .

По определению имеем

y y x x y x x x 2 x2 x2 2x x x 2 x2

x 2x x .

Следовательно,

x 2x x

y' lim

y

lim

lim 2x x 2x .

x 0

x

x 0

x

x 0

Итак, x

2

2x

. Аналогично можно показать x

3

3x

2

,

x

4

4x

3

и т.д.

Вообще, x

n

n x

n 1

.

личина скорости в момент t есть производная от пути S t

t 0 t

по времени t.

Геометрический смысл производной.

На рис. 4.6:

АВ – хорда или секущая кривой y x ;

AD – касательная к y x в точке х;

BAC – угол наклона хорды АВ к ОХ;

DAC – угол наклона касательной AD к ОХ;

Рис. 4.6

BC y ; AC x ; т. A x; y – точка касания.

Если x 0 , то т.B т.A по дуге

y x ; хорда АВ стремится занять пре-

дельное положение касательной AD в точке х; ; tg tg ; tg BC

y

;

y

AC

x

lim tg lim

tg y'

x .

x

x 0

x 0

Следовательно, y' x tg , т.е. производная от y x

в точке х равна угло-

вому коэффициенту касательной, проведенной к линии y x

в точке х.

Определение. Нормальной прямой к линии y x в точке х называется пря-

мая, перпендикулярная касательной к этой линии в данной точке.

Уравнение касательной к y x в т. M0 x0 , y0 :

y y0 y' x0 x x0

;

уравнение нормали к y x в т. M

x , y

:

y y

1

x x .

0

y' x0

0

0

0

0

этой точке.

Примеры. 1)

y

x

в т. x 0

1

3

3

3

lim

2) y 3

в т. x 0 ,

y' x lim

x x

x

; y' 0 lim

x

.

x

x 0

x

x 0

x

x 0 3 x 2

При x 0 касательная к

y 3

имеет

угловой коэффициент

k tg , т.е.

x

, следовательно, касательная перпендикулярна к ОХ

в т. x 0 .

В данном

2

1.

y x C ;

y 0;

y' lim

0

0

C ' 0 ,

C const .

x

x 0

2.

y x x ;

y x ;

y' lim

x

=1;

x ' 1.

x 0

x

3.

y x C u x , где u x

– дифференцируемая в точке х функция.

y C u ;

y' lim

C u

C u' ;

C u ' C u' .

y x u v , где u x и v x

x 0

x

4.

– дифференцируемые в точке х функции.

y u v ;

y' lim u v u' v' ; u v ' u' v' .

y x u v ;

x 0

x

5.

y u u v v uv uv u v v u u v uv u v v u u v ;

y' lim

u v v u u v

lim

u

v

v

u

u

x

x

x

v u' v v' u lim u' v

x 0

x 0 x

x 0

= (если x 0 , то v 0 , т.к. функция

v x

– дифференцируема в точке х и,

следовательно, непрерывна) u' v v' u ; u v ' u' v v' u .

х – аргумент. Тогда yx

yu ux .

Доказательство.

Пусть y u

и u x – дифференцируемые функции. Если

приращение u ,

которое в свою очередь влечет изменение у на величину y .

y

lim

y

u

(при x 0 , u 0 )

lim

y

lim

u

. Следо-

yx lim

x

u

x

u

x

yu

ux

x 0

x 0

u 0

x 0

вательно, yx

yu ux .

8. Пусть

y y x

и x x y – две взаимно обратные функции, дифферен-

цируемые

в точке

M x,y . Пусть существует

yx lim

y

lim

1

(при

x y

x 0

x

x 0

x 0 ,

y 0 , т.к. y x дифференцируема в точке х)

1

1

;

yx

1

lim

x

xy

xy

y 0

y

5. cos x ' sin x

cosu ' sinu u'

7. ctg x '

1

ctg u '

1

u'

sin2 x

sin2 u

Доказательство аналогично доказательству формулы 6.

1

loga e

1

loga e u

8. loga x

x

loga u

u

1

1

u

9. ln x

x

lnu

u

10.

a

x

a

x

lna

a

u

u

lna u

a

1

1

11.

arc sin x

arc sinu

u

1 x2

1 u2

y arcsin x , тогда x sin y ;

yx

1

и

yx

1

1

1

xy

cos y

1 sin2 y

1 x2

1

1

12.

arccos x

arccosu

u

1 x2

1 u2

1

1

13.

arctg x

1 x2

arctg u

1 u2

u'

1

1

14.

arcctg x

1 x2

arcctg u

1 u2

u'

2

x

2

x

3

. Из полученной формулы видно, что

y состоит из

3x

x

3x

первой степени. Это слагаемое 3x2

x

называется главной линейной частью

Для аргумента х

dx x ,

тогда имеем dy 3x

2

dx или

dy x

3

dx .

В общем случае dy y' dx .

Свойства дифференциала .

1.

y c ;

y' 0 ;

dy 0 dx 0 ;

dc 0 .

2.

y x ;

y' 1;

dy dx .

3.

y c u ;

y' c u' ;

dy cu' dx c du .

4.

y u v ;

y u' v' ;

dy du dv .

5.

y u v ;

y' u' v v' u ;

dy v du u dv .

u

y'

u' v v' u

;

dy

v du u dv

.

6.

y v ;

v2

v2

7.

y y u ;

u u x ,

тогда

du .

yx

yu

ux ,

dy yu

ux

dx yu