Определение. Решением СЛАУ (1) называется совокупность чисел (α1, α2, …, αn), которые, будучи подставлены в каждое уравнение системы (1) вместо неизвестных, обратят каждое уравнение в тождество.

СЛАУ (1) называется совместной определенной, если решение единственное, т.е. совокупность чисел (α1, α2, …, αn) одна.

Если решение не одно (в этом случае их бесконечно много), то СЛАУ(1) называется совместной неопределенной.

Если СЛАУ (1) не имеет решений, то система называется несовместной. Если все свободные члены bi = 0, то СЛАУ(1) называется однородной, в

противном случае СЛАУ(1) неоднородная.

1.6. Решение систем линейных алгебраических уравнений

a31x a32 y a33 z b3 .

Правило Крамера. Искомое неизвестное равно дроби, в знаменателе которой стоит главный определитель системы А, в числителе стоит тот же определитель, в котором столбец коэффициентов при искомом неизвестном заменен на столбец свободных членов. Имеем

10 8 7 25 0 .

11

25 0 матрица А невырожденная и имеет обратную матрицу А-1. Найдем все алгебраические дополнения Аij.

Система определенная, имеет единственное решение: x=1, y=2, z=3.

12

1.6.3. Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных)

Определение . Системы линейных алгебраических уравнений называются эквивалентными, если они имеют одни и те же решения.

Теорема. Если к какому-либо уравнению системы прибавить любое другое уравнение, умноженное на некоторое число, то вновь полученная система будет эквивалентна исходной.

Проще говоря, линейные преобразования над уравнениями системы не изменяют ее решений.

Рассмотрим метод Гаусса на примерах

Матрица А свелась к треугольному виду. На этом заканчивается прямой ход метода Гаусса. Решение системы получим при выполнении обратного хода метода Гаусса.

Третье уравнение имеет вид: – 25z = – 75; отсюда z = 3.

Второе уравнение: – 7у – 8z = -38; отсюда 7у = 14 или у = 2. Первое уравнение : x + 2y + 3z = 14; отсюда x = 1.

Решение системы единственное: х = 1; у = 2; z = 3.

Матрица А свелась к трапецеидальному виду, система имеет противоречивое (третье) уравнение и, следовательно, несовместна.

13

Матрица А свелась к трапецеидальному виду. В системе появилось «пустое» третье уравнение. Прямой ход метода Гаусса закончен.

Имеем два уравнения и три неизвестных, таким образом, одна переменная, например, z свободна, z R .

Частное решение получаем, задавая конкретное значение z, например, z = 0.

Вывод.

– главный определитель системы; х, у, z – вспомогательные определители.

2.Матричный метод. СЛАУ квадратная, невырожденная. X A 1 B .

3.Метод Гаусса. СЛАУ произвольная. С помощью линейных преобразований над строками в матрице Гаусса последовательно исключаем переменные из уравнений. В результате решения СЛАУ получим один из случаев:

а) матрица А свелась к треугольному виду; решение СЛАУ единственное, находится обратным ходом;

б) матрица А свелась к трапецеидальному виду с противоречивой строкой; СЛАУ несовместна;

в) матрица А свелась к трапецеидальному виду с «пустой» строкой. СЛАУ неопределенная, имеет бесконечно много решений, т. к. появляются «свободные» переменные.

Замечание. Однородная СЛАУ всегда совместна, т. к. всегда имеет нулевое (тривиальное) решение. Такие системы решаем точно так же, как и неоднородные.

Пример

14