Тогда i i 1;

j j 1;

k k 1 . Если

и наоборот.

a

b , то a b 0

Следовательно, условие перпендикулярности векторов: a b a b 0 .

Тогда i j 0 ;

i k 0 ;

j k 0 .

Пусть

;az axi ay

j az k ,

b bx ;by ;bz bxi by j bz k , тогда

a ax ;ay

a b

axi ay j azk bxi by j bzk axbx ayby azbz .

3 j k и

b 1; 2;

2 ,

1) Найти скалярное произведение векторов a 2i

и удовлетворяющий условиям:

обозначаемый символом c

a b

1)

b

sin , φ – угол между a и b ;

c

a

2)

c

a , c b ;

Геометрический смысл

:

Модуль векторного произведения

a b

a b

численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах a ,

b , как

на сторонах.

Следствие. Площадь треугольника, построенного на векторах a , b , как на

сторонах, равна половине модуля векторного произведения a на b , S

1

.

2

a b

Момент силы F , приложенной к т. А, относи-

Физический смысл a b :

тельно т.О равен векторному произведению вектора OA на вектор силы F ,

M F OA F M xi M y j M zk . Тройка (OA, F , M F ) должна

быть правой. Координаты M x , M y , M z

вектора M F есть моменты

этой силы относительно координатных осей.

Рис. 2.13

3) c

a

b c

a

c b .

ние ортов: i i 0 ,

т. к.

i i

i

i

sin0 0 ; аналогично

j j 0 , k k 0 ;

i j k , действительно,

i k ,

j k ,

sin

k

i

j

1 и тройка i , j ,k – пра-

2

вая. Аналогично можно получить

j k i

и т. д.

Объединим всевозможные векторные произведения ортов i , j , k

в таблицу:

i j k i

j k

.

Тогда a b axi ay j azk bxi by j bzk

k

i

j

ax

ay

az

.

i aybz azby j axbz bxaz k

axby bxay

bx

by

bz

Примеры .

, если a 1; 2;

2 ;

b i k .

1. Найти 2a

3b

2. Найти S ABC , т. А(1; -1), т.В(4; -2), т.С(3;3).

2.7. Понятие смешанного произведения векторов

Определение.

Смешанным произведением векторов a, b , c называется ска-

лярное произведение вектора

на вектор c .

a b