Тогда бесконечно малыми при x a будут:

1) 1 x 2 x ,

2) C 1 x ,

3) f x 1 x ,

4) 1 x 2 x .

Определение. Функция x

называется бесконечно большой при

x a

или при x , если lim x или lim x .

x a

x

Из определения предела следует, что если, например lim x ,

то это

x a

x a или неограниченно изменяется при

x a , т.е. для любого числа M 0 су-

ществует

такое число

0 , что

для

всех х, удовлетворяющих неравенству

x a

выполняется неравенство

x

M .

Примеры. 1) x : 0,1; 0,01; 0,001; ...;

x 0;

y

1

:

10; 100;

1000;

...;

1

;

x

x

lim

1 ; функция y

1

при x 0 есть бесконечно большая.

x 0

x

x

2)

x : 10; 100;

1000; ...;

x ;

y x3 : 103 ; 1003 ; 10003 ; ...;

x3 ;

lim x3 ; функция y x3 является бесконечно большой при x .

x

Величина, обратная бесконечно большой при x a или при x , есть бес-

конечно малая, т.е.

если lim x или lim x ,

тогда lim

1

0

или lim

1

0 .

x

x a

x

x a x

x

Величина, обратная бесконечно малой при

x a или x ,

есть беско-

нечно большая, т.е.

если lim x 0 или lim x 0 , тогда lim

1

или lim

1

.

x a

x

x a x

x x

Сумма двух бесконечно больших одного знака при x a или

x есть

1. Пусть функции

f x

и x имеют конечные пределы при

x a (или

при x ), т.е. lim f x A, lim x B . Тогда

x a

x a

а)

lim f x

x lim f x lim x A B ;

x a

x a

x a

б)

lim f x x lim f x

lim x A B ;

x a

x a

x a

в)

lim

f x

lim f x

A

, если B 0 .

x a

lim x

B

x a x

x a

2. Если f x и x при

x a

(или при x ) имеют равные пределы

lim f x A

и

lim x A

и

выполняется неравенство f x u x x , то

x a

x a

ные значения ( y( x ) 0 )

и при этом lim y x A , то число A 0 .

x a

4. Если при x a (или при x )

f x x , то lim f x lim x .

x a

x a

5. Если f x – возрастающая функция и ограниченная в окрестности точки

х=а, т.е.

f x M ,

то она имеет предел lim f x A , где A M .

x a

Следствия.

Пусть lim f x A ,

C const . Тогда

x a

1.

limC C .

x a

2.

limC f x C lim f x C A.

x a

x a

3.

lim f x n

lim f x n An .

x a

x a

lim n

n

n

.

f x

lim f x

4.

A

x a

x a

5.

limC f x

lim f x

CA .

Cx a

x a

4.7.

Вычисление пределов

0

0

;

0

Определение.

Выражения вида 0 ;

; ; 0

; 1 ; 0

называются не-

Примеры.

1)

lim

x2

5 x 6

0

lim

x 2 x 3

lim

x 3

1

.

6 x 8

x 2 x 4

x 4

2

x 2 x 2

0

x 2

x 2

0

2) lim

1 x

1 x

; умножим числитель и знаменатель на сопряжение к

3x

0

x 0

1 x

1 x

1 x

1 x

числителю, т.е. на 1 x 1 x

lim

x 0

3x

1 x

1 x

lim

1 x 1 x

lim

2 x

2

1 .

x 0 3x 1 x 1 x

x 0 3 x

1 x 1 x

3 2 2

2. Первый замечательный предел:

lim

sin x

0

1

,

lim

x

0

1,

x

sin x

x 0

0

x 0

0

S OAB Sкр.сект S OCB .

S OAB

1 OB AD 1 OB OA sin x

1

sin x ;

2

1

2

1 x ;

2

Sкр.сект.

OA2 x

2

2

S OCB

1

OB CB 1 OB OB tg x .

Рис. 4.1

2

2

Имеем

1

sin x

1

x

1

tg x

или sin x x tg x .

Поделим неравенство на

2

2

2

sin x 0 , получим 1

x

1

. Переходя к пределу, при

x 0 ,

и ис-

sin x

cos x

x

пользуя свойства конечных пределов,

получим 1 lim

1 и,

следовательно,

x

x 0 sin x

1 sin x

1

lim

1. Перевернем

выше

полученное

неравенство:

,

x 0 sin x

x

cos x

т.е.

1

sin x 1. Переходя в неравенстве к пределу и используя свойства

cos x

x

sin x 1.

конечных пределов, получим lim

x 0

x

Примеры.

1) lim

3x

3

,

2) lim

tg7x

7

.

x 0 sin2x

2

x 0

5x

5

3. Третий замечательный предел:

Pn x

A0 x

n

A1 x

n 1

...

An

A

B

, n m;

0

0

lim

lim

0 ,

n m;

B1 xm

1 ... Bm

x Qm x

x B0 x m

n m.

,

Примеры. 1) lim

3x2

1

3

, 2) lim

2x 7

0

, 3) lim

x4

2

.

x x2 1

x x3 1

x 1 x3

Примеры: 1) Пусть аргумент в своем изменении принимает значения

х: 2,9; 2,99; 2,999; …х→3, находясь слева от 3; говорим х стремится к 3 слева

и пишем x 3 0 .

1

Пусть

y

1

. Значения

y

1

: 10; 100; 1000; ... ;

.

x 3

x 3

1

x 3

Пишем lim

.

x 3 0 x 3

2)

x : 3,1; 3,01; 3,001; ...; x 3

справа, пишем x 3 0 .

y

1

: 10; 100; 1000; ...;

1

;

lim

1

.

x 3

x 3

x 3 0 x 3

x a 0

Определение 1. Функция y x называется непрерывной в точке

x a, если

она определена в некоторой окрестности точки x a и

1) существуют конечные односторонние пределы lim y x A и

lim y x B ;

x a 0

x a 0

y x – исходное значение функции;

y x x – приращенное значение функции;

y y x x y x – приращение функции.

Рис. 4.2

Пусть lim y x y a . Обозначим x a x , тогда

y x y a y и преды-

x a