3.5.7. Взаимное расположение двух прямых в пространстве

1)L1 L2 , следовательно, а1 a2 .

2)L1 L2 , следовательно, а1 a2 и а1 a2 0 .

3) Угол φ между L и L найдем по формуле cos a1 a2 .

2 a1 a2

Вопросы для самопроверки

1)Приведите общее уравнение прямой на плоскости.

2)Что называется направляющим вектором прямой и ее нормалью?

3)Что называется угловым коэффициентом прямой?

4)Приведите уравнение прямой в отрезках.

5)Как найти угол между двумя прямыми и точку их пересечения?

6)Приведите канонические уравнения кривых второго порядка.

7)Приведите общее уравнение кривой второго порядка и изложите алгоритм построения такой кривой.

8)Укажите оптические свойства кривых второго порядка.

9)Приведите общее уравнение плоскости и его частные случаи.

10)Выведите уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

11)Как перейти от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим уравнениям?

12)Приведите условия параллельности прямой и плоскости.

13)Как найти угол между двумя прямыми в промтранстве?

Литература: [1], c.8-16, 55-70 Примеры: [2], c.6-9, 15-36, 53-63

4.МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

4.1.Основные понятия

Пусть даны два непустых числовых множества X x и Y y .

Определение. Если любому значению x X по определенному закону (или по правилу) поставлено в соответствие некоторое значение y Y , то говорят, что задана функция у от х и пишут y f x или y y x .

Если значению x X соответствует по формуле y f x одно значение

y Y , то функция называется однозначной; в противном случае – многозначной.

Переменная х называется независимой переменной или аргументом, переменная у называется функцией.

Определение. Областью определения функции y f x называется сово-

купность всех тех значений х, для которых функция y f x вычисляется конеч-

ным действительным числом или определена, или существует.

Областью значений функции y f x называется совокупность всех значе-

ний, принимаемых переменной у, если х принадлежит области определения.

37

Способы задания функции y f x .

1) Аналитический – способ задания функции с помощью формул. Если урав-

нение, с помощью которого задается функция, разрешено относительно у, то функция называется явно заданной, в противном случае – неявно заданной.

При аналитическом способе задания функции встречаются случаи, когда функция задана не одной, а несколькими формулами.

2) Табличный – способ задания функции при помощи таблицы. Например, таблицы тригонометрических функций, логарифмы и т. п. Табличный способ широ-

ко используется в экспериментах и наблюдениях. Недостатком табличного способа является то, что функция задается не для всех значений аргумента.

3) Графический – способ задания функции при помощи графика.

Например, для измерения атмосферного давления на различных высотах ис-

пользуют барограф, который на движущейся ленте записывает в виде кривой линии изменение давления в зависимости от высоты.

График функции y f x – множество точек (х; у) плоскости XOY, координа-

ты которых связаны соотношением y f x . Само равенство y f x называет-

ся уравнением этого графика.

4)Программный – способ задания функции в виде компьютерной программы.

5)В виде рядов Тейлора, Маклорена, Фурье и т. п.

4.2.Классификация основных элементарных функций

1.Линейная функция у = ах + в, ее график – прямая линия.

2.Квадратичная функция y ax2 bx c , ее график – парабола.

3.Многочлен или целая рациональная функция

y A0 xn A1xn 1 A2 xn 2 ... An ,

где Аi – коэффициенты многочлена, конечные действительные числа; n – натуральное число, называемое степенью многочлена.

Эта функция определена при всех значениях х. Линейная и квадратичная функции есть частный случай многочлена. Обозначается многочлен y Pn x .

4. Рациональная дробь определяется как отношение двух многочленов:

Рациональная дробь определена при всех х, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.

Пример. y k – обратная пропорциональная зависимость между х и у. Гра- x

фиком этой функции является гипербола, отнесенная к осям координат.

38

5. Степенная функция y x , α – действительное число. Область определе-

ния этой функции: х – любое, если α – натуральное число; x 0 , если α - целое отрицательное число; x > 0, если α – произвольное действительное число.

6. Показательная функция y ax, a 0, a 1, определена при всех значениях х.

Частный случай y ex (экспонента).

7. Логарифмическая функция y loga x, a 0, a 1, определена при x > 0.

Частный случай y ln x (натуральный логарифм).

8. Тригонометрические функции y sin x , y cos x определены при любых

Функции вида 1 – 5 называются алгебраическими; вида 6 – 9 называются трансцендентными.

Определение. Сложной функцией (суперпозицией) или функцией от функ-

ции называется функция вида y y u , где u u x , т.е. y y u x , при этом

переменная u называется промежуточной переменной, переменная х называется

Такие функции называются монотонными.

39

Определение. Функция у(х) называется четной, если y x y x ; нечетной,

если y x y x .

Четные функции симметричны относительно оси OY (осевая симметрия); нечетные функции симметричны относительно О(0;0) (центральная симметрия).

Определение. Окрестностью точки x a называется любой симметричный открытый интервал на оси ОХ с центром в этой точке.

Аналогично определяется окрестность точки y A на оси OY.

Примеры. 1) δ – окрестность точки х = а – интервал (а – δ; а + δ) или x a .

2) ε – окрестность точки у = А – интервал (А- ε; А + ε) или y A .

4.3.Предел функции

Пусть переменная х принимает значения сколь угодно мало отличающиеся от числа а, но не равные ему. Говорим, х стремится к а и пишем x a .

Из этого определения следует, что если х попадает в δ-окрестность точки x a , то y x попадает в ε-окрестность точки у = А.

Если аргумент х в своем изменении неограниченно увеличивается, то говорим x ; если же х неограниченно уменьшается, то говорим x .

y x2 : 0; 100; 10000; …; x .

40

A y x B , где А, В – некоторые конечные числа.

Примеры: y sin x , y cos x , y arctg x и т.п.

4.4.Бесконечно малые функции и их свойства

41