26.2 Перехідний процес у колі постійного струму з ємнісним елементом

Розглянемо перехідний процес, який виникає при вмиканні перемикачем S попередньо розрядженого конденсатора на постійну напругу U в колі із схемою, показаною на (рис. 26.1). До початку перехідного процесу контакт перемикача S замикав ланцюг R— С, отже при t =0 маємо и_с = 0 та І= 0. Після переведення при t = 0 контакту S у верхнє положення R—С-ланцюг вмикається на постійну напругу U. Рівняння Кірхгофа для миттєвих значень напруг та струмів після комутації кола має вигляд:

Рисунок 26.1

або

Розв'язок диференційного рівняння записуємо у вигляді двох складових:

Цей розв'язок дійсний для будь-якого моменту часу після комутації, тобто і для часу t₍₀₊₎.

Перша складова и_с дорівнює напрузі на конденсаторі після закінчення перехідного процесу, тобто и_с =U, оскільки після закінчення перехідного процесу спад напруги на резисторі, дорівнює нулю.

Друга складова, це загальний розв'язок однорідного диференційного рівняння

є вільною складовою и_с , яка визначається рівнянням

Тут р — корінь характеристичного рівняння.

Для визначення сталої інтегрування А и_с = U та и_с = Ae^pt і враховуємо те, що напруга и_c(+0) = 0, оскільки вона не може змінитися стрибком. Тоді

Звідси А =- U, отже,

Тут т — стала ланцюга R—С, τ = RC.

Стала τ, має розмірність часу та називається сталою часу.

Оскільки струм, через конденсатор і = С du_c/dt то струм у колі

або

Залежності u_c{t) та i(t), побудовані та показані на (рис. 26.2).

З цього видно , що перехідний процес з точністю до 5% можна вважати практично закінченим при t = Зτ. При t = 5τ перехідні напруги та струми відрізняються від свого усталеного значення лише на 0,7%.

Сталу часу ланцюга R—С можна визначити експериментально, побудувавши залежність u_c(t) за даними дослідів і провівши дотичну до неї у точці t = 0 (рис. 26.2). Проекція на вісь абсцис точки А перетину цієї дотичної з прямою, проведеною паралельно осі абсцис на відстані U, задає відрізок ОВ, рівний в певному масштабі сталій часу τ.

Рисунок 26.2

З (рис. 26.2) тангенс кута β між дотичною до кривої u(t) у точці нуль та віссю абсцис, який, як відомо з курсу математики, дорівнює похідній функції u(t) в точці t = 0, також дорівнює

Тут т_и та m_t— масштабні коефіцієнти переводу довжин відрізків АВ та ОВ відповідно у вольти та секунди. Отже відрізок ОВ визначає сталу часу -RC—кола. Якщо контакт вимикача S у схемі (рис.26.1) миттєво перекинути у нижнє положення, виникає перехідний процес розряду конденсатора. Рівняння напруг за другим законом Кірхгофа після комутації кола:

Струм при розряджанні конденсатора

Залежності u_c(t) та i(t) при розряджанні конденсатора показані на (рис. 26.3).

Рисунок 26.3

Відмітимо, що при малих значеннях опору R струм при заряджанні та розряджанні конденсатора, який в момент t = t₍₊₀₎ дорівнює І = U/R може досягти дуже великих значень.

26.3 Перехідний процес у колі постійного струму з індуктивним елементом

Розглянемо перехідний процес при вмиканні котушки з параметрами R, L на постійну напругу U.

Після комутації кола, схема якого показана на (рис. 4.4), рівняння складене за другим законом Кірхгофа для миттєвих значень напруг має вигляд:

Рисунок

Характеристичне рівняння

Корінь характеристичного рівняння

p = -R/L

Вільна складова струму

τ= L/R — стала часу кола з параметрами L та R.

Отже, перехідний струм при вмиканні котушки з параметрами R та L на постійну напругу U визначається рівнянням

Миттєве значення напруги на резисторі

Напруга на ідеальному індуктивному елементі L

Рисунок

Часові залежності i(t), u_R(t),:ii_L(t), показані на (рис. 4.5). З рисунка видно, що в перший момент після комутації струм у колі дорівнює нулю і вся напруга U прикладена до елемента L. Через час t = Зτ напруга на резисторі u_R = 0,95 U, а напруга на елементі L u_L= 0,051 U. Перехідний процес проходить без небезпечних стрибків струму чи напруги.

Практика показує, що при вимиканні з кола постійного струму індуктивних елементів на комутуючих контактах виникає електрична дуга, а між витками індуктивної котушки виникає велика напруга, що може привести до пошкодження ізоляції. Тому при наявності великої індуктивності L слід вмикати паралельно котушці розрядний опір, як це показано на (рис. 4.6).

Рисунок

До розмикання контакту S струм у колі і = i_R + i_L. Після комутації кола струм індуктивної гілки не може змінитися стрибком, тому і_L(0+)= і_{L (0-)}= U/R_L . Струм же у розрядному резисторі змінюється стрибком від i_R(-₀₎ = U / R до комутації до i_R(+0) = i_L(+0) U/R_L після комутації. До комутації напруга на розрядному резисторі R і одночасно на котушці дорівнювала u_R(-₀₎ = U = R∙i_R(-₀₎, а після комутації

Отже, чим більше співвідношення опорів R та R_L, тим більша напруга на котушці в момент після комутації. За відсутністю розрядного опору можна вважати, що опір R нескінченно великий, R→∞. В такому разі і напруга на котушці може стати нескінченно великою, але цього не відбувається, оскільки висока напруга викликає електричний пробій повітряного проміжку на початку розмикання контакту S. Це веде до створення дуги між рухомою та нерухомою частинами контакту, тобто спричинює обгорання поверхонь і подальше погіршення роботи контакту. Вмикання ж розрядного опору R веде до збільшення непродуктивних втрат електричної енергії. Тому паралельно індуктивним елементам, наприклад котушкам електромагнітних реле, в колах постійного струму часто ставлять напівпровідникові діоди VD (рис. 4.6). Діод пропускає в напрямі; показаному стрілкою, розрядний струм індуктивності і не споживає енергії в усталеному режимі, оскільки не пропускає струму у зворотному напрямку.

ПЕРЕХІДНИЙ ПРОЦЕС ПРИ ВМИКАННІ КОТУШКИ НА ЗМІННУ НАПРУГУ

Кожна реальна котушка може бути представлена заступною схемою у вигляді послідовно з'єднаних ідеальних індуктивного та резистивного елемента (рис. 4.4). Котушка гріється при протіканні по ній струму, отже вона має параметр R. Котушка створює при протіканні струму навколо себе магнітне поле, отже вона має й параметр L незалежно від того, на яку напругу її вмикають — постійну U чи змінну и. При вмиканні такої котушки на синусоїдну напругу и = U_msin(ω_t+ψ_u), в ній виникає перехідний струм i, який можна представити, як і при вмиканні котушки на постійну напругу, у вигляді суми вимушеної та вільної складових. Вимушена складова дорівнює струму усталеного режиму в колі

Тутψ_і =ψ_и -φ — початкова фаза струму, ψ_и — початкова фаза напруги джерела живлення, φ — кут зсуву по фазі між напругою та струмом.

Складене за другим законом Кірхгофа рівняння для миттєвих значень напруг у колі (рис. 4.4) за умовою, що замість постійної напруги джерела U маємо змінну синусоїдну напругу джерела и_, має вигляд:

u=u_R+u_L=Ri + L di/dt

Рівняння складеного для випадку вмикання котушки на постійну напругу. Отже характеристичне рівняння лишається без змін і корінь його р = -R/L. Враховуючи те, що струм індуктивного елемента стрибком не змінюється, суму вимушеної та вільної складових струму для t = і₍₊₀₎ можна прирівняти до нуля

Звідси А=-І_тsin(ψ_u-φ),а перехідний струм визначається рівнянням

З останнього виразу видно, що перехідний струм у котушці має синусоїдну вимушену складову та затухаючу аперіодичну складову експоненційного характеру і залежить від моменту комутації кола. При початковій фазі напруги мережі в момент комутації ψ_и = φ аперіодична складова дорівнює нулю і перехідний процес відсутній. Після комутації відразу ж встановлюється усталений режим. Якщо ж початкова фаза напруги дорівнює ψ_и=φ + π / 2, то аперіодична складова має максимальне значення і перехідний процес має характер, показаний на рис. 4.7.

Рисунок

З графіку видно, що при ψ_и=φ+π/2 найбільше значення струму (надструм) у перехідному процесі настає всередині першого періоду змінної складової струму. При-повільному затуханні аперіодичної складової надструм може майже вдвічі перевищити амплітуду струму усталеного режиму. Це явище може набути небезпечного характеру, якщо внаслідок поганого стану контактів вимикача S процес комутації відбувається не миттєво, а з багатократним повторенням замикань та розмикань контакту. За таких умов відбудеться накладання процесів, що виникають при вимиканні індуктивного елемента з електричної мережі, на процеси при його вмиканні до мережі, тобто комутація може відбуватися при наявності магнітного поля котушки, створеного у попередньому процесі. Все це може привести до значних перенапруг на котушці і виникнення великих надструмів. В результаті можуть бути пошкоджені запобіжники в системі захисту пристрою та ізоляція між витками індуктивного елементу.

ВМИКАННЯ НА ПОСТІЙНУ НАПРУГУ КОЛА З ПОСЛІДОВНО З'ЄДНАНИМИ РЕЗИСТИВНИМ, ІНДУКТИВНИМ ТА ЄМНІСНИМ ЕЛЕМЕНТАМИ

Перехідному процесу в колі, зображеному на (рис, 4.8) , після комутації кола контактом S відповідає рівняння рівноваги напруг:

Рисунок

Прийнявши до уваги, що струм у конденсаторі дорівнює і = Cdu_c/dt, отримаємо

Характеристичне рівняння має вигляд алгебраїчного квадратного рівняння

і має два корені:

Напруга на ємнісному елементі у таких перехідних процесах може гранично перевищувати у два рази напругу джерела U. Такі перенапруги можуть бути небезпечними для ізоляції електроустановок.

На (рис.4.9) показано часові діаграми напруги на конденсаторі та струму у колі із схемою (рис. 4.8), отримані шляхом розв'язку диференційних рівнянь для заданих значень U = З0В, R =10 Ом, L = 10 Гн, С = 2000 мкФ.Перехідний процес має коливний характер. Найбільша напруга на конденсаторі у перехідному процесі майже вдвічі перевищила напругу джерела живлення.

Рисунок

ЗНАЧЕННЯ ПЕРЕХІДНИХ ПРОЦЕСІВ ДЛЯ ЕКСПЛУАТАЦІЇ ЕЛЕКТРОУСТАНОВОК

Вище було показано, що перехідні процеси в лінійних колах з елементами R, L, С можуть супроводжуватися великими імпульсами струмів (заряджання та розряджання конденсаторів, вмикання індуктивної котушки на змінну напругу) та короткочасними підвищеннями напруги (вимикання індуктивної котушки з мережі, коливні процеси в колі R —L—С). Великі перехідні струми обтяжують роботу апаратури захисту та комутації електроустановок, а великі перехідні напруги можуть пошкодити їх ізоляцію. Тому при експлуатації електроприладів та електроустановок слід вважати на можливі негативні наслідки перехідних процесів. Для запобігання ним слід перш за все уникати частих вмикань і вимикань електроустановок з мережі. Після вимикання електротехнічних пристроїв з R—C та R—L ланцюгами слід робити паузу, достатню для того, щоби всі поля, створені індуктивними та ємнісними елементами зникли.Слід зауважити, що ари наявності в електричних колах обертових електричних машин ударні струми в перехідних процесах можуть досягати особливо небезпечних значень і супроводжуватися появою коливних ударних моментів, небезпечних для механічних вузлів агрегатів. Але розгляд цих перехідних процесів є предметом спеціальних курсів з електромеханіки та теорії електричних машин.

Отже:

Режим роботи електричного кола постійного струму називають усталеним, якщо значення напруг і струмів у колі незмінні у часі. Режим роботи електричного кола змінного струму називають усталеним, якщо дійові значення всіх напруг і струмів у колі незмінні у часі.

Процес переходу від одного усталеного режиму роботи електричного кола до іншого називають перехідним;

Закони комутації в електричних колах: струм у колі з індуктивним елементом не може змінитися стрибком; напруга на ємнісному елементі не може змінитися стрибком;

Перехідні процеси у простих лінійних електричних колах описують диференційні рівняння першого або другого порядку з постійними коефіцієнтами. Розв'язок таких рівнянь при застосуванні класичного методу аналізу перехідних процесів шукають як суму двох складових у = у' +у",де у'—частинний розв'язок диференційного неоднорідного рівняння, а у"— загальний розв'язок однорідного рівняння без вільних членів. Складову у' називають змушеною складовою. Загальний розв'язок однорідного рівняння у" тобто рівняння без вільних членів, характеризує процес без наявності змушувальних дій джерел напруг і струмів, тому складову у"- називають вільною складовою. Вільну складову розв'язку диференційного рівняння першого ступеня визначають за виразом у" = Ае^рх,де р — корінь характеристичного рівняння, А— стала інтегрування. Вільну складову розв'язку диференційного рівняння другого ступеня визначають за виразом у" = А1е^Р1Х + А₂е^РгХ. Якщо корені характеристичного рівняння р1 та р₂ дійсні і різні, — вільна складова має затухаючий аперіодичний характер. Якщо ці корені спряжені комплексні — перехідний процес має коливний характер;

Перехідний процес практично закінчується через час t = (3 ÷5)τ, де τ— стала часу кола. Для кола, що складається з елементів з параметрами R та L τ= L/R, Для кола з параметрами R та С стала часу τ = RC;

При вмиканні котушки на постійну напругу перехідний процес проходить без небезпечних стрибків струму та напруги. При вмиканні котушки на змінну напругу перехідний струм залежить від моменту вмикання і може перевищувати амплітуду усталеного після закінчення перехідного процесу струму майже удвічі. При вимиканні котушки великою індуктивністю та малим опором R з мережі живлення можливе виникнення великої напруги на виводах котушки, що призводить до іскріння комутаційних контактів і небезпечно для ізоляції котушки. Для зменшення перенапруг котушки шунтують резисторами або діодами;

При вмиканні кола R—С на постійну або змінну напругу при малих значеннях R та великих ємностях С можливе виникнення великого перехідного струму, який дорівнює і= u/R;

При вмиканні кола R—L—С на напругу і спряжених комплексних коренях характеристичного рівняння перехідний процес має коливний характер. Напруга, на конденсаторі може майже вдвічі перевищити постійну напругу джерела живлення;

Перехідні процеси в лінійних колах з елементами, R L, С можуть супроводжуватися великими імпульсами струмів та короткочасними підвищеннями напруги. Великі перехідні струми обтяжують роботу апаратури захисту та комутації електроустановок, а великі перехідні напруги можуть пошкодити їх ізоляцію. Тому при експлуатації електроприладів та електроустановок слід вважати на можливі негативні наслідки перехідних процесів. Для запобігання ним слід перш за все уникати частих вмикань і вимикань електроустановок з мережі. Після вимикання електротехнічних пристроїв з R—С та R—L ланцюгами слід робити паузу, достатню для того, щоби всі поля, створені індуктивними та ємнісними елементами зникли.

Список літератури

1. Евдокимов Ф.Е. Общая электротехника. - М: Высшая школа, 1987. - 352 с.

2. Попов В.С. Теоретическая электротехника. - М: Энергоатомиздат, 1990. - 544 с.

3. Мансуров Н.Н., Попов В.С. Теоретическая электротехника. - М: Энергия, 1968. - 576 с.

4. Данилов И.А., Іванов П.Т. Общая электротехника. - М: Высшая школа, 1987. - 352 с.

5. Будіщев М.С. Електротехніка, електроніка та мікропроцесорна техніка. Підручник. - Львів: Афіша, 2001. - 424 с.

140