17.3 Закон Ома та закони Кірхгофа у комплексній формі

Вводячи комплекси повного опору, діючих значень струму і напруг отримуємо закон Ома у комплексній формі: комплексний струм на ділянці кола прямо пропорційний комплексній напрузі на її затискачах і обернено пропорційний комплексу повного опору ділянки:

, де

Комплекс еквівалентного опора послідовного сполучення дорівнює сумі окремих комплексів опорів:

Комплекс еквівалентного опора паралельного сполучення дорівнює :

Комплекс еквівалентної провідності паралельного сполучення дорівнює сумі окремих комплексів провідностей:

І закон Кірхгофа у комплексній формі: алгебраїчна сума комплексних струмів у вузлі дорівнює нулю:

При цьому комплекси струмів, які входять до вузла, вважають позитивними, а комплекси струмів, які виходять з вузла, вважають негативними.

ІІ закон Кірхгофа у комплексній формі: алгебраїчна сума комплексів падінь напруги на ділянках контуру дорівнює алгебраїчній сумі комплексів ЕРС, діючих у контурі:

Для написання рівняння за другим законом Кірхгофа потрібно обрати напрямок обходу контуру та напрямки струмів і ЕРС довільно. Якщо обхід контуру збігається з напрямком ЕРС чи струмом, то їх комплекси враховують зі знаком «+» і навпаки.

Символічний метод дозволяє використовувати для розрахунку кіл змінного струму усі методи розрахунку кіл постійного струму: метод згортання, перетворення зірки в трикутник і навпаки, законів Кірхгофа, вузлових потенціалів, контурних струмів, еквівалентного генератора і накладання, але для розрахунків у цьому випадку використовують комплекси змінних величин.

17.4 Розрахунок електричних кіл комплексним(символічним ) методом

17.4.1 Кругові та топографічні діаграми

При зміні параметра кола (активного опору, ємності чи індуктивності) для струмів і напруг на окремих ділянках кола будуть різні значення. Проаналізувати зміну режимів кола можна побудовою серії векторних діаграм. Кругові діаграми - це серії векторних діаграм при зміні параметрів кола. Їх використовують для визначення струму чи напруги при певному значенні параметру, який змінюється (активного опору, ємності чи індуктивності). Наприклад, визначати значення струму при активному опорі, який дорівнює , для вказаного на ( рис.17.3) кола. Активний опір можна змінювати. До цього кола подається синусоїдна напруга:

Рисунок 17.3 - Нерозгалужене коло зі змінним активним опором і його кругові діаграми

Рисунок 17.4- Топографічна діаграма кола вказаного на рис.17.3

Побудуємо кругові діаграми (рис.17.3).

Відкладаємо вектор комплексу напруги:

При R=0 спостерігається коротке замкнення. При цьому режимі струм у колі найбільш можливий: , і відстає від напруги на кут 90º. Показуємо це на діаграмі і проводимо окружність з діаметром. Уздовж векторавідкладаємо відрізокОК, який у масштабі дорівнює . З точкиК проведемо перпендикуляр цьому вектору - відрізок КП, який у масштабі дорівнює , при якому струм у колі зменшується:. Якщо з’єднати прямою лінією точкиО і П отримаємо точки 1 і 2 на кругових діаграмах, які і визначать режим роботи при заданому активному опорі : діюче значення струму - відрізокО1, який нахилений під кутом φ до вектора напруги, активна складова прикладеної до кола напруги - відрізок О2, реактивна складова прикладеної до кола напруги - відрізок ОА.

Напруга між двома точками електричного кола уявляє собою різницю потенціалів цих точок. Тобто, потенціал окремої точки можна представити відповідним комплексом потенціалу і зобразити вектором, який починається у початку координат. Його кінець позначають той же цифрою або буквою, що і точку кола, потенціал якої зображає вектор.

Топографічною діаграмою називається векторна діаграма комплексів кола при умові, що кожній точці кола відповідає певна точка на діаграмі і вектор, проведений з початку координат в будь-яку точку діаграми, зображає комплекс потенціалу цієї точки. В цьому випадку відрізок, який з’єднує дві будь-які точки діаграми, визначає комплекс напруги між цими точками.

При побудові топографічної діаграми потенціал будь-якої точки приймають рівним нулю і на діаграмі точку нульового потенціалу суміщають з початком координат.

Приклад, побудувати топографічну діаграму для вказаного на ( рис.17.3) кола.

Розв’язання

1. Визначимо точки в колі, де можлива зміна потенціалу. Позначимо їх 1, 2, 3. Потенціал точки 1 приймемо рівним нулю: . Початкову фазу загального струму приймемо рівною нулю, тобто:тому вектор струму направлений уздовж позитивної дійсної вісі. Визначимо напрямки струмів та потенціалів у колі.

2. Складаємо рівняння потенціалів для кожної точки:. Струм в опорах добутково направлений від точки з більш високим потенціалом до точки з меншим потенціалом. Обхід контуру приймемо назустріч струму.

2: , тоді

Вектор випереджає струм за фазою на кут 90º - отримаємо точку 2.

3: , тоді

Вектор збігається за напрямком з вектором струму - точка 3.

Вектор, який з’єднує точки 1 і 3, направлений від точки 3 до точки 1 зображує напругу на затискачах кола: . При цьому вектори напруг на діаграмі мають до точок кола напрямки зворотні позитивним напрямкам напруг відносно цих точок, що відповідає правилу віднімання векторів, згідно якому вектор різниці завжди направлений в один бік з вектором, від якого вираховують. Так вектор індуктивної напруги на топографічній діаграмі направлений від точки 1 до точки 2, у схемі направлений навпаки - від точки 2 до точки 1 (за напрямком струму).

Топографічна діаграма вказана на ( рис.17.4)