3.3 Другий закон Ньютона і дві задачі динаміки

Динаміка розв’язує дві взаємно-обернені задачі:

– по відомим траєкторії і закону руху знаходять можливі сили, що діють на тіло;

– по заданим силам знаходять траєкторію і закон руху тіла.

Розглянемо першу задачу.

Задано: траєкторія графічно (рис.3.2), або аналітично і закон руху будь-яким способом, наприклад, звичайним S=S(t).

Знайти: силуF-?

По траєкторії, знаходять одиничні вектори, а також радіус R її кривизни. Тоді згідно з другим законом Ньютона

Якщо рух тіла по колу радіусомR (рис.3.3) заданий кутовою координатою, яка змінюється по закону φ = φ(t), то сила

знаходиться так:

Сила направлена перпендикулярно до дотичної, тобто до центра кривизни траєкторії. Тому її ще називають доцентровою силою. Як бачимо, перша задача динаміки розв’язується шляхом диференціювання.

Розглянемо другу задачу динаміки.

Задано: закон зміни сили як функцію часу, швидкості, шляху.

Знайти: закон руху S = S(t).

Вона розв’язується інтегруванням. Окрім сили повинні бути задані і початкові умови, так як під дією однієї і тієї ж сили, але при різних початкових умовах, характер руху тіла різний. Наприклад, рух тіла під дією сили тяжіння з різними початковими умовами може бути:

вільне падіння; рух тіла, кинутого вертикально вгору; рух тіла, кинутого під кутом до горизонту; рух по колу – штучний супутник Землі.

Так як в загальному вигляді ця задача не розв’язується, розглянемо два приклади.

Приклад 1. Тіло масою m рухається під дією сили, яка не змінює напрямку і пропорційна часу F = k∙t. Початкові умови:

при t = 0 V = V_o, S = S_o.

Так як сила не змінює напрямку, тіло буде рухатись по прямій лінії. Знайдемо закон зміни швидкості і шляху від часу. Записуємо другий закон Ньютона

За означенням (2.2) швидкість

.

Приклад 2.Тіло масою m рухається прямолінійно під дією сили опору, яка пропорційна швидкості . Початкові умови:

при t = 0 V = V_o, S = S_o.

Знайдемо закон зміни швидкості і шляху від часу. Записуємо другий закон Ньютона

. Константу інтегрування С₁ знайдемо, підставивши початкові умови. Одержимо, С₁=lnV_o. Отже, .

. Підстановка початкових умов дає

Отже, , або

. Намалюємо графіки V(t) і S(t).

3.4 Принцип відносності Галілея. Правило складання швидкостей в класичній механіці

Розглянемо інерціальну систему К(x,y,z) і систему К¹(x¹,y¹,z¹), яка рухається відносно системи К з постійною швидкістю вздовж осі х. Для простотибудемо вважати, що осіy і z паралельні осям y¹ і z¹ відповідно. Нехай начала координат 0 і 0¹ в початковий момент часу співпадають (рис.3.4). Тоді запишемо очевидні із рис.3.4 співвідношення між координатами вякийсь момент часуt = t¹: .(3.4)

Рівняння (3.4) називаються перетвореннями координат Галілея, які справедливі для швидкостей набагато менших від швидкості світла.

Розглянемо наслідки цих перетворень.

1. Візьмемо перші похідні за часом

, або (3.5)

Одержали правило складання швидкостей в класичній механіці: абсолютна швидкість дорівнює векторній сумі відносної і переносноїшвидкостей.

Наприклад, човен пливе по річці. Швидкість течії ріки – це переносна швидкість, відносна – це швидкість човна відносно води, тобто в стоячій воді, абсолютна – це результуюча швидкість човна відносно берега.

б) Візьмемо ще раз з рівняння (3.5) похідні за часом

. Так як ,, або .

У всіх інерціальних системах прискорення однакове, або кажуть, що другий закон Ньютона інваріантний (незмінний) в усіх інерціальних системах відліку.

Принцип відносності Галілея: У всіх інерціальних системах відліку одні і ті ж механічні явища протікають однаковим чином і ніякими механічними дослідами, які проводяться всередині інерціальної системи, неможливо встановити – рухається вона чи ні.