8.3 Закон Ома по класичній теорії електропровідності металів. Електричний опір провідників

Запишемо другий закон Ньютона для направленого руху електрона . Інтегруємо це рівняння в межах швидкості від 0 до V_макс, і в межах часу від 0 до τ. – час вільного пробігу електрона. Одержуємо

. (8.7)

Середня швидкість направленого руху V дорівнює півсумі початкової (V₀ = 0, див положення 4) і кінцевої V_макс. Враховуючи (8.6), густина струму , або. (8.8)

Це і є закон Ома в диференційній формі. Тут питома електропровідність . (8.9)

Величина обернена питомій електропровідності називається питомим опором ρ

. (8.10)

Це опір суцільного куба з ребром 1м при протіканні струму між протилежними гранями.

Одержимо закон Ома в інтегральній формі. Для цього рівняння (8.8) домножаємо скалярно на вектор переміщення вздовж провідника в напрямку протікання струму і інтегруємо в межах двох точок провідника. Врахуємо (7.27), 8.1) і що кут між векторамидорівнює нулю, одержуємо.

. . (8.11)

Тут U – напруга, R – опір провідника

(8.12)

залежить від матеріалу і геометричних розмірів: площі перерізу S та довжини ℓ.

Приклад. Знайти опір R однорідного провідника у формі зрізаного конуса при протіканні струму між його основами (рис.8.6). Задані геометричні розміри R₁, R₂ і питомий опір ρ.

Елементdx довжини провідника має переріз радіусом . Тоді опір цього елементу.

Загальний опір .

При з’єднанні резисторів загальний опір знаходиться так:

при послідовному з’єднанні як сума опорів;

, (8.13)

при паралельному – обернений опір дорівнює сумі обернених опорів . (8.14)

8.4 Закон Джоуля-Ленца по класичній теорії електропровідності металів

Закон Джоуля –Ленца – це закон про теплову дію електричного струму: якщо електричний струм не виконує механічної роботи, то вся його енергія перетворюється в тепло. Який механізм нагрівання провідників електричним струмом? Електрон прискорюється електричним полем. Швидкість і кінетична енергія його поступального руху зростають за рахунок енергії електричного поля. При зіткненні з вузлом кристалічної гратки він повністю втрачає набуту швидкість, а значить і кінетичну енергію направленого руху (див. положення 4, розділ 8.2). Ця енергія передається атому кристалічної гратки, внаслідок чого він починає коливатись більш інтенсивно. А це і означає нагрівання кристалу.

Знайдемо питому потужність w, тобто енергію, яка виділяється в одиниці об’єму провідника за одиницю часу

. (8.15)

За час dt кожний електрон зазнає зіткнень, при кожному з яких кристалу буде передана енергія. В об’єміdV_об знаходиться електронів. Тоді

. Підставляємо в (8.15). З врахуванням (8.7 ) і (8.9 ), після спрощень, одержуємо

. Якщо скористатися законом Ома (8.8 ), закон Джоуля-Ленца в диференційній формі запишеться так:

. (8.16)

В інтегральній формі цей закон має вид

(8.17)

Для потужності електричного струму маємо

(8.18)

8.5 Закон Відемана-Франца по класичній теорії електропровідності металів

Дослідами встановлено, що метали наряду з високою електропровідністю мають і хорошу теплопровідність, які значно перевищують електропровідність і теплопровідність діелектриків. Логічно припустити, що ця різниця властивостей зумовлена наявністю електронного газу в металах і його відсутністю в діелектриках.

У 1853 році два німецьких фізики: Г. Відеман і Р. Франц експериментально встановили закон, який носить їхнє ім’я:

для всіх металів при одній і тій же температурі відношення коефіцієнта теплопровідності до питомої електропровідності σ однакове і пропорційне абсолютній температурі Т

. (8.19)

С – константа, яка не залежить від природи металу.

Розглянемо пояснення цього закону в рамках класичної теорії електропровідності. Коефіцієнт теплопровідності електронного газу, як одноатомного молекулярного газу (6.34) з рахуванням (6.49), дорівнює

Враховуючи (8.9 ) і (6.25), а також положення про рівність усіх теплових швидкостей електрона (положення 2 розд.8.2), знаходимо відношення

. (8.20)

Одержали закон (8.19). Числове значення С_теор=2,23∙10^-8(В/К)² близьке до С_експ= 2,21∙10^-8(В/К)², що підтверджує справедливість теорії.