7.2 Принцип суперпозиції та його застосування до розрахунку електростатичного поля

Якщо поле утворене декількома зарядами, то вектор напруженості результуючого поля знаходиться попринципу суперпозиції, як векторна сума напруженостей, утворених в даній точці кожним зарядом незалежно від інших зарядів (рис.7.2).

. (7.5)

Ступінь зарядженості тіл, які не можна вважати точковими, характеризуються такими величинами:

лінійна густина заряду – заряд одиниці довжини

; (7.6)

поверхнева густина заряду – заряд одиниці площі

; (7.7)

об’ємна густина заряду – заряд одиниці об’єму

. (7.8)

Для полів, утворених неточковими зарядами, напруженість розраховується також по принципу суперпозиції, але формула (7.5) переходить у відповідний ( криволінійний, поверхневий чи об’ємний ) інтеграли

,,, (7.9)

де - напруженість поля, створеного нескінченно малим елементом тіла dl, dS чи dV. Розглянемо декілька прикладів застосування принципу суперпозиції для розрахунку поля заряджених тіл.

Приклад 1. Розрахувати напруженість електричного поля на осі зарядженого кільця радіусом R, зарядом Q на відстані h від центра кільця (рис.7.3).

Елемент dl₁ кільця, заряд якого , створює напруженість поля. (7.10)

Діаметрально протилежний елемент dl₂ створює напруженість dE₂. Ясно, що Х–ві проекції цих векторів попарно компенсуються, а У-ві – додаються.

. Враховуючи (7.10), і що , одержуємо

. (7.11)

При h =0 ( в центрі кільця) Е=0. При h → ∞ Е = 0.

Приклад 2. Розрахувати поле нескінченної зарядженої осі в точці, яка знаходиться на відстані R від неї. Лінійна густина заряду осі дорівнює τ (рис.7.4).

Нескінченно малий елементdℓ(точковий заряд) створює напруженіcть . Заряд цього елемента дорівнює . Відстань. Одержуємо. Знаходимо проекції цього вектора на осі координат:,. Інтегрування по всій осі зводиться до інтегрування по куту α в межах від 0 до π.

. (7.12)

.

Так як Е_у = 0, вектор напруженості направлений вздовж осі ох, тобто перпендикулярно до зарядженої осі.

Приклад 3. Розрахувати поле нескінченної зарядженої площини з поверхневою густиною заряду σ (рис.7.5).

Положення нескінченно малого елемента dS, заряд якого dq = σ∙dS,

задамо полярними координатами ρ і α. В цих координатах dS = ρ∙dρ∙dα. Знайдемо dE_z , яка перпендикулярна до площини. Щоб охопити всю площину, кут α повинен змінюватись від 0 до 2π, а радіусρ – від 0 до ∞. Беремо подвійний інтеграл в цих межах

Проекція вектора напруженості на площину, перпендикулярну до осі ОZ дорівнює нулю. В цьому можна впевнитись математично, замінивши соsφ на sinφ, а можна і такими міркуваннями: на нескінченній площині завжди можна знайти елемент dS₂, симетричнийdS₁ відносно перпендикуляра h до площини (рис7.6). Ці елементи створюють однакові вектори напруженості dE₁ і dE₂, Z-ві проекції яких співпадають, а перпендикулярні проекції взаємно протилежні і тому компенсують одна одну. Отже вектор напруженості поля нескінченної зарядженої площини

(7.13)

перпендикулярний до неї і не залежить від положення точки, тобто однакове в усіх точках простору. Такі поля називаються однорідними.