5.2 Елементи гідроаеродинаміки. Рівняння д. Бернуллі

Будемо вивчати рух рідин і газів. Введемо кілька понять.

Лінії, дотичні до яких у кожній точці співпадають з вектором швидкостірис.(5.3), називаютьсялініями току. Поверхня, утворена лініями току, що проходять через будь-яку замкнуту лінію, називається трубкою току.

Стаціонарним називається такий потік рідини або газу, при якому лінії току не змінюються з часом.

Розглянемо рух рідини, або газу по трубці току (рис.5.4) в таких припущеннях: 1) густина вздовж трубки току однакова; 2) будемо нехтувати нагріванням рідини, або газу за рахунок сил внутрішнього тертя, тобто вважатимемо систему консервативною; 3) рух стаціонарний.

Введемо позначення: S₁, S₂ – площі перерізу трубки на вході і виході відповідно; Р₁, Р₂ – тиск на об’єм рідини в трубці току з боку

рідини, яка знаходиться за межами трубки току;V₁, V₂ – середні по перерізу швидкості течії; h₁, h₂ – висоти положення середніх ліній трубки від нульового рівня потенціальної енергії Е_п.

Знайдемо масу рідини ∆m₁, яка втікає в трубку току за час ∆t, і масу ∆m₂, яка витікає з неї за цей же час. На рис.5.4 це маси заштрихованих об’ємів, які мають форму циліндрів. Тому

В стаціонарному режимі течії ці маси однакові. Таким чином маємо умову нерозривності стаціонарної течії:

(5.5)

швидкість течії більша в місці з меншою площею поперечного перерізу труби.

Застосуємо до рідини, яка знаходиться в трубці току, закон збереження механічної енергії. Система консервативна (див. припущення 2) і незамкнута. Сили тиску Р₁ і Р₂ являються зовнішніми силами для вибраної системи. Робота цих сил за час ∆t іде на зміну кінетичної і потенціальної енергії рідини масою ∆m

.

Поділивши це рівняння на об’єм рідини, яка втікає і витікає з труби за час ∆t, тобто на вираз , і врахувавши, що відношення маси до об’єму дає густину, одержуємо рівняння Д. Бернуллі

. (5.6)

Сума статичного тиску Р, динамічного і гідравлічного напорів для будь-якого перерізу труби є величиною сталою.

Така закономірність течії лежить в основі дії пульверизатора, карбюратора, водоструменевого насосу, витратомірів і т.д.

5.3 Вимірювання в’язкості методом Пуазейля

Даний метод оснований на вимірюванні витрати рідини (газу) при протіканні їх по круглій трубі. Витрата - це маса речовини, яка протікає через трубу за одиницю часу. Для її розрахунку знайдемо спочатку закон розподілу швидкості руху речовини по перерізові труби, так як вона в різних точках перерізу різна. Дійсно, біля стінок швидкість дорівнює нулю і зростає до центру перерізу.

Розглянемо в потоці рідини (газу) елементарний об’єм у формі циліндра радіусом r і довжиною dx, вісь якого співпадає з віссю труби (рис.5.5). Він рухається під дією сил тиску, що діють на основи і, а також сила внутрішнього тертя, яка діє по бічній поверхні. Стаціонарний рух цього елементу буде при умові, тобто

, або . (5.7)

У випадку стаціонарного режиму течії падіння тиску на одиниці довжини труби є величиною сталою і дорівнює,

де Р₁ і Р₂ – тиск на вході і на виході труби відповідно, - довжина труби. Рівняння (5.7) набуде вигляду

. Після інтегрування . Константу інтегрування знайдемо із граничної умови: приr = R V = 0. Одержимо . Тоді розподіл швидкості по перерізу труби як функція радіусаr буде мати вид

(5.8)

квадратної параболи (див. рис.5.5).

Знайдемо витрату рідини. Виберемо в перерізі труби кільце радіусомr і шириною dr (рис.5.6, заштриховано). Вісь труби співпадає з центром цього кільця. Тому швидкість руху рідини по всій площі кільця однакова і задається виразом (5.8). Об’єм рідини, який пройде через це кільце за час dt, буде мати форму трубки довжиною V∙dt радіусом r і товщиною стінки dr. За цей час протече маса рідини

dm = ρ∙V∙dt∙2πr∙dr.

Тоді витрата рідини через вибране кільце буде дорівнювати . Через увесь переріз витрата знаходиться шляхом інтегрування по радіусу в межах від 0 доR

. (5.9)

Звернемо увагу на досить сильну залежність витрати від радіуса труби М ~ R⁴.

Таким чином, знаючи густину рідини і вимірявши експериментально витрату М, тиски Р₁, Р₂ та геометричні розміри R і , знаходять в’язкість

. (5.10)