0. Запись уравнений состояния сети с помощью матриц обобщенных параметров.

Обратимся к уравнениям состояния сети (54), (55) по законам Кирхгофа.

Представим матрицу коэффициентов системы [A^-1] в виде блочной матрицы с размерностью блоков по числу узловnи числу контуровk

(60)

Тогда

(61)

Здесь — квадратная матрица, называемая матрицей входных и взаимных проводимостей ветвей схемы. Её элементыy_ijопределяют величину и фазу тока вi-ой ветви от действия ЭДСj-ой ветви и называются взаимными проводимостями, а элементы у_iiопределяют величину и фазу тока вi-ой ветви от действия ЭДС этой же ветви и называются собственными или входными проводимостями.

При отсутствии ЭДС ветвей ([E_в] = 0), выражение (61) обращается в

, (62)

откуда наглядно виден смысл матрицы [С] и её элементов.

[C] — матрица порядка, называется матрицей коэффициентов распределения задающих токов узлов по ветвям сети. Её произвольный элемент c_ijпредставляет собой долю от токаj-го узла в токеi-ой ветви:

, (63)

где c_ij — элемент матрицы коэффициентов распределения [C];

I_i — токi-ой ветви;

J_j— задающий токj-го узла.

Матрицы [С], [D] и, следовательно — [Y_в], вычисляются путем обращения матрицы [А] с помощью разбиения на блоки, и представляют собой линейные комбинации блоков матрицы [А], показанных в (53). При этом [С] и [Y_в] могут быть выражены как на основе узловой модели сети:

, (64)

где — обратная к матрице узловых собственных и взаимных проводимостей,

так и на основе контурной модели:

(65)

где — обратная к матрице контурных сопротивлений.

Выражения (64), (65) показывают, что процедура нахождения [С] достаточно громоздкая, но вычисленная один раз, эта матрица позволяет вести многократные расчёты режима по выражениям (55), (61) вручную или на ЭВМ с высоким быстродействием^. После нахождения токов ветвей остальные параметры режима рассчитываются по известным формулам.

Правильность выражений (64), (65) и результатов конкретных вычислений матрицы [С] по этим выражениям можно проверить по соотношению:

, (66)

которое получается если в 1-ый закон Кирхгофа подставить вектор токов ветвей из (55):

, а следовательно

(67)

Логика выражения (60) наглядно видна, если в выражение (55) подставить [С] из (60):

(68)

[U]

[U_в]

[I]=[I] тождество

Аналогично можно показать логику выражения для матрицы [С] на основе контурной модели сети:

Перемножим в правой части и сгруппируем сомножители скобками

[I_α]

[ΔUα]

[I_α΄]

[Iв]

[Ек]

[I_β]

[Iв΄΄]=[I_α΄΄ I_β]^Т

[Iв]

[Iв] =

Здесь [I_α΄] – составляющая токов в дереве сети, обусловленная задающими токами при отсутствии хорд;

[I_α΄΄] – составляющая токов в дереве сети, вызванная замыканием хорд.

[I_α]=[I_α΄]+[I_α΄΄]; (69)

[Iв]= [I_α΄]+[Iв΄΄] (70)

Вопросы для самопроверки

1. Запишите уравнение состояния сети по законам Кирхгофа.

2. Запишите решение уравнения состояния сети через матрицы обобщённых параметров.

3. Каков физический смысл элемента матрицы коэффициентов распределения?

4. Как посредством моделирования режимов сети (на ЭВМ или физической модели) определить элементы матрицы коэффициентов распределения?

5. Как определить потокораспределение мощностей без учёта потерь в сети с помощью матрицы коэффициентов распределения?

6. Как обратить матрицу с использованием разбиения на блоки, и что нам даёт это разбиение?