Решение нелинейных обращенных узловых уравнений с матрицей- методом простой итерации.

Задаются точностью расчета напряжений, выбирают начальные приближения напряжения во всех узлах (принимают равным номинальному , гдеk— номер итерации) и рассчитывают напряженияпо выражению (7). Выражение (7) является развёрнутой формой представления системы нелинейных обращенных узловых уравнений (6), записанной применительно к решению методом простой итерации.

, (7)

где k– номер итерации (к = 0, 1, 2, 3, …).

Затем по выражению (8) проверяется точность вычислений:

, (8)

где - точность.

Если точность неудовлетворительна, то напряжение во всех узлах принимают равными и по выражению (7) определяюти опять проверяют точность и так до тех пор, пока точность не будет достигнута.

В результате решения системы узловых уравнений получаем вектор – столбец узловых напряжений:

(9)

Пример расчета:

1

4

VII

I

VI

3

IV

5

БУ

1

2

V

3

II

III

2

Система нелинейных узловых уравнений, подготовленная к простой итерации имеет вид

Зададимся начальным приближением:

(кВ)

Итерационный процесс будем вести до тех пор, пока не будет выполнено условие

,

примем =0.01 кВ.

Обратная матрица узловых проводимостей

Первая итерация:

(кВ)

Вторая итерация:

(кВ);

Третья итерация:

(кВ);

Итерационный процесс закончен !

Решение нелинейных обращенных узловых уравнений методом ускоренной итерации.

Этот метод нашёл применение в расчётах установившихся режимов электрических систем. Основное достоинство его в том, что он легко программируется на ПЭВМ, имеет быструю сходимость (если итерационный процесс сходится).

Для решения задачи методом ускоренной итерации систему уравнений (2) можно представить в развернутом виде следующим образом: (для четырех узлов)

. (10)

Точность проверяется как:

. (11)

Из системы уравнений (10) видно, что ускорение решения на каждом шаге достигается подстановкой в последующее уравнение значений узловых напряжений определённых уже в предыдущем уравнении системы.

Пример расчета:

1

4

VII

I

VI

3

IV

5

БУ

1

2

V

3

II

III

2

Воспользуемся узловыми уравнениями, записанными в виде (10):

Система уравнений подготовленных к итерационному процессу будет выглядеть так

В общем виде итерационный процесс можно записать в виде

Обратная матрица узловых проводимостей

Итерационный процесс будем вести до тех пор пока не будет выполнено условие

,

примем =0.01 кВ

Матрица задающих мощностей [P_y] и вектор начальных приближений напряжений [U⁽⁰⁾]

(МВт); (кB).

(В)

Первая итерация:

(кB).

Вторая итерация:

(кВ);

Третья итерация:

(кВ);

Итерационный процесс закончен!

Решение нелинейных узловых уравнений методом Ньютона.

Его основное преимущество — быстрая сходимость. Решение системы уравнений методом Ньютона сходится значительно быстрее, чем при решении этой же системы методами простой и ускоренной итерации, однако он более трудоёмок на каждой итерации.

Для реализации решения узловых уравнений методом Ньютона, исходные узловые уравнения представим в форме баланса токов

(13)

Запишем вектор-функцию небаланса токов в узлах W(U):

(14)

Запишем матрицу Якоби. Ее элементы составлены из частных производных от составляющих вектор-функции небаланса W_iпо искомым узловым напряжениямU_i:

. (15)

Итерационная формула метода Ньютона запишется в виде:

, (16)

где

. (17)

Точность проверяется следующим образом: (18)