Расчёт матрицы узловых проводимостей [Yy] и матрицы контурных сопротивлений [Zk].

Расчёт матрицы узловых проводимостей [Yy] (См) (без учёта балансирующего узла) производим по формуле:

[Yy] =[M]*[dZ_B]^-1*[M]^T

(5)

Матрица узловых проводимостей, вычисленная с помощью программы Mathcad, совпадает с матрицей, вычисленной вручную.

Матрица узловых проводимостей [Y_Σ] (с учетом строки для балансирующего узла) определяется по формуле:

[Y_Σ] =[M_Σ]*[dZ_B]^-1*[M_Σ]^T

(См)

YΣ=

(6)

Матрица [Y_Σ] является вырожденной матрицей, т. е. обратной для неё не существует. Это подтверждается тем, что при суммировании элементов строкY_Σполучается нулевая строка, и, следовательно, определитель этой матрицы, вычисленный по теореме разложения определителя по элементам строки (столбца), обращается в 0, т.е.detY_Σ= 0

Расчёт матрицы контурных сопротивлений [Z_К] (Ом) производим по формуле:

[Zк]=[N]*[dZ_В]*[N]^Т;

(Ом)

Как и ожидалось, получили симметрическую матрицу 3-го порядка.

В матрице Zк получили два отрицательных элемента (взаимные сопротивления 1-ого и 3-ого контуров). Знак «—» объясняется тем, что направления обхода контуров 1 и 3, совпадающие с направлениями хорд I и III, противоположны.

Диагональные элементы матрицы Zii (40.96, 53.76, 51.2) имеют преобладающие в своих строках и столбцах значения, поскольку представляют собой полные сопротивления контуров, а побочные элементы равны только суммам сопротивлений ветвей дерева, общих для i-го и j-го контуров. Поскольку каждый контур включает в себя и сопротивление замыкающей его хорды, то Zii > Zij. Это можно увидеть на схеме рис.

Заметим, что для матрицы контурных сопротивлений Zк отсутствует прямая числовая связь между диагональными и суммой соответствующих побочных элементов строки или столбца, свойственная матрицеY_У, но в ней отражено реально существующее для схем соотношение Zii>Zij. При другом способе формирования системы независимых контуров может быть обеспечено соотношение:

Zii>Zijи

Zii>Zij(cумма)

2. Расчёт режима электрической сети при задании нагрузок в токах приведем на примере работы студента Кабанова Павла

Рис.1

Исходные данные для этой схемы следующие:

L_i=35 км;

S_i=S₀(1+0,1*i) МВа;

S₀=24 МВа;

U_баз=1,05U_ном ; U_ном=110 кВ;

X₀=0,4 Ом/км;

L₅=0,65L_i

Расчет режима электрической сети по узловым уравнениям путем обращения матрицы узловых проводимостей

Узловые уравнения в матричной форме имеют вид:

, (1)

отсюда , (2)

где - обратная матрица узловых проводимостей,

- матрица падений напряжения в узлах относительно балансирующего узла.

Находим обратную матрицу узловых проводимостей:

Произведем проверку:

, т.е.

Что мы и можем наблюдать на самом деле.

Найдем падения напряжения в узлах относительно балансирующего узла по формуле:

₍₃₎

(кВ)

Теперь найдем напряжения в узлах, используя формулу:

, (4)

где - единичная матрица-столбец, аU_б=115,5;

(кВ)

Находим падения напряжения в ветвях:

[∆U_B]= [M^T]· [U_∆] (5)

(кВ)

Найдем токи в ветвях:

[I_B]= [dY_B]· [M^T] ·[U_∆]=[dY_B] ·[∆U_B] (кА); (6)

(кА)

Произведем проверку полученных результатов согласно условию

[M]· [I_B]= [-J]; (7)

(кА)

Баланс токов по I-му закону Кирхгофа обеспечивается. Это означает, что расчет произведен верно.

Вопросы:

1. Как по приведенным затратам вручную определить ток 2-ой ветви дерева?

2. Что собой представляет каждая строка произведения (М·I_B)? Получите для схемы (рис. 2.1) вторую строку (М·I_B). Четвертую строку.