2.3 Решение уравнений узловых напряжений итерационными методами

2.3.1 Решение уравнений узловых напряжений в форме баланса токов

Матричное уравнение:

;

где .

представим в алгебраической форме:

;(123)

Уравнения системы разрешим относительно диагональных неизвестных :

(124)

Для итерационного решения необходимо выбрать начальное приближение падений напряжений и подставить в правую часть системы (124). Получим, затем подставим его в правую часть, получими т.д. Процесс может вестись по методу простой или ускоренной итерации.

По методу ускоренной итерации для нахождения k-го переменного вi-ой итерации используются переменные,…, вычисленные на этой жеi-ой итерации и переменныеk+1,k+2,…,n, вычисленные на предыдущей (i-1)-ой итерации.

(125)

Аналогично организуется итерационный процесс расчета напряжений узлов [Uу] на базе уравнений (108), записанных для напряжений узлов.

Решение нелинейных узловых уравнений можно записать, использую обратную матрицу Y^-1.

Используя эти уравнения, получим:

(126)

Выражение (126) имеет большое прикладное значение в области расчетов установившихся режимов. Оно называется обращенной формой уравнений узловых напряженийи представляет собой самостоятельный метод расчета режимов.

2.3.2 Обращенная форма уравнений узловых напряжений и их анализ

Обратную матрицу Y^-1в выражении (126) обозначают черезZи называют матрицей соответственных взаимных сопротивлений.

Y^-1=Z

Тогда

(127)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (128)

или в общем виде:

,

i,j = 1,2,…,n;

Чтобы использовать схему расчета (126) и (128), надо предварительно обратить матрицу узловых проводимостей, после этого процесс получения решения (нахождение U₁,U₂, …U_n) происходит гораздо быстрее, чем итерационное решение системы исходных нелинейных уравнений (15).(Этот факт может иметь и физическое толкование).

Итерационная процедура решения нелинейных обращенных уравнений следующая:

1. Задаемся начальными приближениями напряжений U_i, напримерU_i=U_ном, и подставляем их в знаменатель в правую часть (128). Выполняем необходимые вычисления согласно (128), в результате находим векторпервого приближения. ЗдесьZиSв общем случае имеют комплексный характер. Во втором приближении в знаменатель (128) подставляются значения напряженийU_i⁽¹⁾первой итерации, находитсяU_i⁽²⁾после чего выполняется третья итерация и т.д. Итерационный процесс заканчивается, когда разность напряжений между двумя соседними приближениями меньше заданной точности.

(129)

Итерационная процедура определения напряжения по обращенным уравнениям может быть ускорена, если на k-той итерации для расчетаi-того неизвестного приниматьиз этой жеk-той итерации, а остальные неизвестныеU_i+1брать из (k-1) итерации, т.е.

(130)

Физический смысл элементов матрицы собственных и взаимных сопротивлений [Z] можно уяснить, если рассмотреть частные режимы работы сети, в которых нагрузки узлов последовательно задаются единичными токами при холостом ходе в остальных узлах сети.

Систему уравнений (128) можно представить в виде

(131)

Из выражения (131) следует, что элементы матрицы узловых сопротивлений Z_ijпредставляют собой коэффициенты частичного падения напряжения, или коэффициенты влияния тока нагрузки вj-том узле на напряжение вi-том узле.

Действительно, если взять сложную схему сети, представляющую собой связанный направленный граф, т.е. одно дерево со своими хордами, то в этой схеме действительно ток нагрузки каждого узла влияет на напряжение во всех узлах. Физический смысл и количественное значение элементов z_ijможно уяснить (и рассчитатьz), если рассмотреть частные режимы данной сети, в которых последовательно все токи, кроме одного, отсутствуют, а в выбранном узле мощность нагрузки такова, что ток равен 1. Естественно, что матрица узловых проводимостейYи обратная к нейZзависят только от пассивных параметров сети, т.е. от ее схемы и сопротивлений или проводимостей ветвей. Эта матрица остается неизменной при изменении нагрузок в узлах.

В частных режимах

I₁=1;I₂,I₃,…,I_n=0

(132)

;

…………………………………….

;

Рассчитав такой режим по любой программе расчета установившихся режимов, можно сразу получить весь столбец матрицы Z_i1(1-й столбец - приI₁ = 1, 2-й столбецZ_i2– при расчете второго четного режима приI₂= 1 и т.д.). Т.е. получается, что элементы матрицы узловых сопротивлений можно найти с помощью программ расчета установившихся режимов по результатам расчетов на ЭВМn-частных режимов с единичными токами в узлах поочередно. Процедура нахожденияZпутем прямого обращенияYили вышеописанным путем громоздкая, но вычисленная один раз, матрицаY^-1обеспечивает быстродействие расчетов режимов и поэтому ее применение эффективно в задачах, где надо считать много режимов одной сети с различными нагрузками (задачи оптимизации режима и т.д.).

После того, как напряжения в узлах сети найдены, остальные параметры режима рассчитываются безитерационным путем (см. выше).