1.2.3 Запись уравнений состояния сети по законам Кирхгофа

Запишем уравнения состояния электрической сети по законам Кирхгофа:

(19)

или, введя составные или блочные матрицы, получим:

(20)

Матрицы соединений [M], [N] и диагональную матрицу сопротивления ветвей [Z_в] также можно представить в виде блоков для дерева и хорд схемы:

(21)

или

. (22)

Здесь [J] ‑ задающие токи узлов, [E_в] ‑ ЭДС ветвей — независимые характеристики режима.

[I] – искомая характеристика режима – токи ветвей схемы

[А] – составная матрица, описывающая конфигурацию и параметры сети, порядка m.

Заметим, что эта матрица содержит информацию об узловой и контурной моделях конфигурации сети – матрицах [M] и [N] и о параметрах сети [Z_α], [Z_].

Уравнение (22) решается относительно токов ветвей [I].

!!!!!!!! (23)

По найденному токораспределению и известному напряжению в балансирующем узле могут быть найдены падения напряжения на ветвях ΔUв и напряжения остальных узлов сетиUΔy. Таким образом, задача расчета режима в линейной постановке решается по уравнениям Кирхгофа, однако для промышленных программ этот подход не применяется, так как порядок системы уравнений и обращаемой матрицы [A] велик – равен числу ветвей схемыm. Для разработки промышленных программ применяются методы, приводящие к системам уравнений состоянияcматрицами меньшей размерности – узловые методы или контурные методы расчета установившихся режимов электрических систем.

1.3 Метод уравнений узловых напряжений

1.3.1 Вывод узловых уравнений

Эти уравнения выводятся из выражения 1-го закона Кирхгофа.

Iзакон Кирхгофа для электрической сети в матричной форме записи:

[M]∙[Iв] = [-Jу], (24)

где Jу – вектор‑столбец задающих токов узлов;

Iв – вектор‑столбец искомых токов ветвей.

В общем случае из этого уравнения нельзя найти токораспределение Iв, так как число уравнений равно числу узловn, а число неизвестных равно числу ветвейm. Выразим токи ветвей через падения напряжения на ветвях [Uв], принимая Ев = 0 (что достаточно типично)

. (25)

Падения напряжения на ветвях [Uв], с использованиемI‑ой матрицы соединений [M], [M]^Тможно выразить через напряжения узлов электрической сети [Uу] или [U_y], т.е. вектор‑столбец меньшей размерности, чем число ветвей:

(26) или

(27)

Здесь [м]т – транспонированная 1-я матрица инциденций,

[U_У] – вектор-столбец падений напряжений в узлах сети относительно базисного узла,

[Uу] – вектор-столбец напряжений узлов электрической сетиn-ого порядка,

(27)

-- составной вектор (n+1)-ого порядка, содержащий [Uу]n-ого порядка и напряжение в балансирующем узлеUб.

Подставив в уравнение (24) токи ветвей из (25) и падения напряжения на ветвях сети из (26), получим:

(28)

Обозначим произведения трех матриц через [Yу]

[Yу]=(29)

[Yy] -- матрица собственных и взаимных проводимостей узлов электрической сети – важнейшая матрица параметров в анализе электрических сетей.

С учетом подстановки формула (28) примет следующий вид:

(30)

Выражение (30) представляет систему линейных узловых уравнений установившегося режима электрической сети.

Здесь [Jу] – вектор‑столбец независимых переменных – задающих токов в узлах сети;

[U_у] – искомый вектор падений напряжений в узлах сетиn‑го порядка;

[n]‑ число независимых узлов в схеме.

Если выразить Uв по (27) через абсолютные значения напряжений узловUу и подставить в (25), (24), то получим:

(31)

Произведение представляет собой матрицу [Yу], дополненную столбцом проводимостей междуi-м и балансирующим узлами [y_iб]:

=[Yу]+[y_iб] , (32)

С учетом (32) левая часть системы узловых уравнений (30) получит вид:

(33)

Перенеся известное произведение в правую часть, получим систему узловых уравнений, составленную для напряжений узлов электрической сети [Uy]:

(34)

Замечаем, что обе системы узловых уравнений (30) и (34) имеют матрицы коэффициентов [Yy] – матрицы узловых собственных и взаимных проводимостей.

Поскольку матрица узловых проводимостей [Yу] для совокупности независимых узлов схемы невырожденная, то системы уравнений (30) и (34) могут быть решены (путем обращения этой матрицы) относительно векторов зависимых переменныхили [Uy]

(35)

(36)

Нагрузки в узлах сети часто представляют через узловые задающие мощности:

, i = 1,2…n; (37)

или

.

Тогда

_,

или через U_Δyв знаменателе:

(38)

или через Uу:

(39)

Из уравнений (38) – (39) очевидно, что задача расчета установившегося режима электрической сети по природе своей нелинейна, так как токи нагрузок в правой части зависят от искомых узловых напряжений и в знаменателе также используются неизвестные UyiилиUyi.

Системы нелинейных уравнений (38) – (39) могут разрешаться относительно искомых напряжений узлов аналогично (35), (36) с организацией внешнего итерационного процесса коррекции задающих токов по узловым мощностям S_yiи рассчитанным напряжениямUyiилиUyi.

, (40)

или через Uу:

(41)

Если напряжения узлов рассчитаны с желаемой точностью (по выражениям (35), (36) или (40), (41) или какими-либо другими методами), то остальные параметры режима – токи ветвей [Iв], потоки и потери мощности на ветвях – определятся однозначно и точно.

Ниже выражения (40), (41), использующие обратную матрицу узловых проводимостей [Yy]^-1, будут названыобращенной формой уравнений узловых напряжений, в отличие от исходных узловых уравнений (линейных - (30), (34), и нелинейных – (38), (39)) в форме баланса токов узлов.