2. Методы решения уравнений установившихся режимов электрических систем

Можно указать характерные особенности уравнений установившихся режимов электрических систем:

- многомерность систем уравнений для реальных схем электрических систем;

- слабая обусловленность, в расчетах многих схем и режимов, матрицы узловых собственных и взаимных проводимостей и матрицы контурных сопротивлений, т.е. близость к нулю определителей этих матриц detY_y≈0,detZ_к≈0;

- нелинейность уравнений, вызванная нелинейным характером связи параметров режима.

Обусловленность матрицы характеризует величину определителя матрицы. Для слабо обусловленной матрицы определитель близок к 0, т.е. detА0

Для матрицы Y_, как известно,detY_= 0 , т.е. имеем вырожденную матрицу для полной схемы сети, включая балансирующий узел. Эта матрица перестает быть вырожденной, когда какой-либо узел сети, в соответствии с физическим смыслом задачи расчета режима, принимается за балансирующий и соответствующая строка удаляется из матрицыY_. Тогда получаем, чтоdetY_0.

Практическое значение характеристики обусловленности матрицы узловых проводимостей состоит в том, что в плохо обусловленной матрице detY0, и малым изменениям в элементах исходной матрицы соответствуют большие изменения в элементах обратной матрицы и, следовательно – малым отклонениям заданных режимных параметров соответствуют большие изменения в искомых характеристиках режима, т.е. наблюдаетсятекучесть параметров режима. Покажем это для узловых уравнений:

(85)

(86)

где А_ijy– союзная (или присоединенная) матрица кY, составленная из алгебраических дополнений элементов исходной матрицыY.

Если detY0,тоY^-1по (86) сильно изменяется при малых отклонениях(например, округлении элементов) в элементах , и тогда решение, получаемое по (85), также сильно изменяется, и значительно меняются падения напряжения на ветвях и потоки мощности в ветвях, то есть результаты расчета режима в целом.

Методы решения систем уравнений делятся на точные и итерационные. Точные методы имеют конечные алгоритмы. К точным методам относятся решение систем уравнений путем обращения матриц коэффициентов, различные методы группы исключения неизвестных (схема единственного деления, метод исключения с выбором главного элемента, схема Жордана и др.), в общем случае называемые методом Гаусса. Согласно методу Гаусса, при прямом ходе производится исключение неизвестных и матрица системы приводится к треугольному виду. При обратном ходе последовательно вычисляются неизвестные.

Применение метода Гаусса к решению систем уравнений установившихся режимов со слабо заполненными матрицами имеет тот недостаток, что в процессе исключения неизвестных свойство слабой заполненности матрицы теряется, то есть вновь появляется большое число ненулевых элементов. Это не только требует дополнительного объема памяти, но и снижает быстродействие программы. Проблема отчасти решается за счет выбора оптимальной стратегии исключениянеизвестных, приводящей к минимальному количеству появляющихся ненулевых элементов. Для этого на каждом шаге исключения за ведущий(исключаемый) принимается тот элемент, который имеет минимальное число связей, то есть минимальное число ненулевых элементов в строке.

Эта проблема особенно актуальна для узловых уравнений, имеющих слабо заполненную матрицу большой размерности. Минимальное число элементов в строке матрицы узловых проводимостей равно 2 -- одна собственная проводимость y_iiи одна взаимнаяy_ij. При линейных комбинациях со строками в процессе исключения неизвестных в первую очередь исключают узлы, имеющие минимальное число связей – одну связь и два элемента в строке матрицыY, то есть висячие вершины графа. Далее исключают узлы, имеющие по две связи и т.д. Исключение элементов из системы узловых уравнений с матрицей узловых проводимостей соответствует исключению узлов в схеме по методу преобразования сети. При этом нагрузка исключаемого узла разносится в прилежащие точки, проводимости связей преобразуются по формулам метода Гаусса. В общем случаеn-лучевая звезда преобразуется вn-угольник. Такой алгоритм исключения реализован в широко распространенной программе МУСТАНГ, разработанной в 80-90-ых годах в ОДУ Северо-запада ЕЭС СССР (г.Рига) совместно с ведущим НИИ в электроэнергетике – Сибирским энергетическим институтом Сибирского отделения АН СССР. Следует заметить также, что алгоритмы и программы решения узловых или контурных уравнений по методу исключения неизвестных сложнее, чем по методу итерации.