1.4 Контурные уравнения установившихся режимов электрических систем

Контурные уравнения выводятся на основе IIзакона Кирхгофа для всей сети:

, (44)

где Uв – вектор‑столбец падений напряжений по ветвям сети.

Закон Ома для сети в целом запишется:

(45)

Подставляя выражение для из (45) в (44), получим развернутую запись 2-го закона Кирхгофа для сети в целом:

(46)

Токи в дереве сети получим из выражения для 1-го закона Кирхгофа

[М_α] [I_α] + [М_] [I_] = [‑Jу] (47)

[I_α]= (48)

Ранее было получено, что (18). Если транспонировать подматрицу, получим:

(49)

С учетом этого выражение для токов дерева сети (48) упрощается:

(50)

Отсюда следует, что для нахождения токов в дереве сети [I_α] достаточно определить токи в хордах, то есть решить систему уравнений k-го порядка, где k – число независимых контуров, которое, как известно,k<n<m. То есть удалось существенно понизить порядок решаемой системы уравнений для расчета токораспределения в сети.

Выражение (50) отражает принцип наложения при расчете токов. Составляющая дает нам токораспределение в дереве данной сети без учета токов хорд, а вторая составляющаяучитывает влияние токов хорд на токи в дереве сети. Тогда полное токораспределение в схеме соответственно определится:

(51)

Примем во внимание, что

(52)

-- есть вектор-столбец контурных ЭДС, представляющих собой алгебраические суммы ЭДС ветвей [Ев] по независимым контурам.

В выражение 2-го закона Кирхгофа (46) подставим токи ветвей [Iв] из (51) ииз (52). Получим:

(53)

Раскроем скобки

(54)

Произведение матриц

=[Z_к] (55)

называют матрицей контурных сопротивлений. Подставим [Z_к] в (54) и упростим:

(56)

Выражение (56) имеет матрицу [Z_k] квадратную, неособенную. Оно связывает независимые режимные характеристики ([-J_y], [Е_к] = [N]∙[Е_В]), параметры и конфигурацию сети () с зависимыми характеристиками - (токи хорд), и может быть решено относительно токов хорд.

=(57)

Тогда токи в дереве сети [I_α] определятся по (50) и задача нахождения токораспределения в линейной постановке, то есть при задании нагрузок в токах, решена полностью. Напряжения в узлах определятся по известному напряжению в балансирующем узле [Uб] и найденным токам ветвейI.

Матрица контурных сопротивлений (55) имеет также вполне регулярную структуру, как и матрица узловых проводимостей. Матрица контурных сопротивлений имеет порядок, равный числу независимых контуров. Ее диагональные элементы Z_iiпредставляют собой алгебраическую сумму сопротивлений ветвей, входящих в данный контур, а недиагональныеZ_ij– алгебраическую сумму сопротивлений, общих для контуровiиj.

При использования принципа ярусности формируется система контуров, когда каждая хорда входит только в один контур и направление обхода по контуру совпадает с направлением тока в хорде ‑ тогда матрица N_‑ единичная.

Проанализируем соотношение между диагональными и побочными элементами матрицы контурных сопротивлений.

(58)

Для так называемой канонической системы контуров

т.е.

(59)

Всегда обеспечивается преобладание диагонального элемента z_ijнад суммой недиагональных элементовZ_ij.

Как указывалось выше, система уравнений (56) может решаться путем обращения матрицы Z_кпо выражению (57) или любым другим способом решения системы линейных уравнений, а именно: группа методов исключения неизвестных (метод Гаусса), или итерационными методами решения систем линейных уравнений, т.е. методом простой или ускоренной итерации. Особенностями системы контурных уравнений установившихся режимов по сравнению с системой узловых уравнений является более низкий порядок решаемой системы, т.к. (k<<n) число контуров в схеме значительно меньше числа узлов в сети.

Но при решении линейных контурных уравнений итерационным методом начальные приближения неизвестных ‑ токов хорд ‑ не определены, отсутствуют данные для более или менее точного задания токов хорд. По сравнению с системой контурных уравнений, для системы узловых уравнений при их решении итерационным методом относительно напряжения в узлах, выбор начальных приближений облегчен, U_начU_билиU_начU_ном.

В целом задача расчета режима реальной электрической сети с большим числом элементов остается многомерной. Контурные уравнения также нелинейны при задании нагрузок в мощностях.

Вопросы для самопроверки:

1. На основе каких законов электротехники выводятся контурные уравнения установившихся режимов электрической сети?

2. Что выражают контурные уравнения?

3. На какие подматрицы разделяются матрицы параметров электрической сети, параметров режима и матрицы инциденций?

4. В чем суть принципа наложения, применяемого при записи токов в дереве сети?

5. Как определить(записать) алгебраическую сумму падений напряжений по ветвям дерева сети?

6. Каковы свойства каноническойсистемы независимых контуров?

7. Порядок расчета режима по методу контурных уравнений при задании нагрузок в токах.

8. Порядок расчета режима по методу контурных уравнений при задании нагрузок в мощностях.

9. Дайте характеристику матрицы контурных сопротивлений.

10. Влияет ил выбор базисного узла на свойства матрицы контурных сопротивлений?