- •Министерство образования республики беларусь
- •Удк 621.311
- •Содержание
- •1.1 Понятие о режимах электрических систем и схемах замещения 5
- •Уравнения установившихся режимов электрических систем
- •1.1 Понятие о режимах электрических систем и схемах замещения
- •1.2 Аналитическое представление информации о конфигурации электрической сети с помощью матриц инциденций и матричное выражение законов Кирхгофа
- •Первая матрица инциденций «узлы-ветви» и ее применение для записи 1-го закона Кирхгофа
- •Вопросы для самопроверки:
- •1.2.2 Вторая матрица инциденций «ветви-контуры» и матричная запись второго закона Кирхгофа
- •1.2.3 Запись уравнений состояния сети по законам Кирхгофа
- •1.3 Метод уравнений узловых напряжений
- •1.3.1 Вывод узловых уравнений
- •Здесь [м]т – транспонированная 1-я матрица инциденций,
- •1.3.2 Определение матрицы узловых проводимостей и ее характеристика
- •1.4 Контурные уравнения установившихся режимов электрических систем
- •Запись уравнений состояния сети с помощью матриц обобщенных параметров.
- •Вопросы для самопроверки
- •1.6 Расчёт режима электрической сети с использованием матрицы коэффициентов распределения
- •Расчётные токи в узлах сети можно определить как:
- •2. Методы решения уравнений установившихся режимов электрических систем
- •2.1 Итерационные методы решения систем уравнений
- •2.2 Критерии сходимости итерации и анализ их выполнения для узловых уравнений установившихся режимов
- •2.2.1 Теорема сходимости итерации
- •2.2.2 Факторы, влияющие на сходимость итерации для узловых уравнений установившихся режимов
- •2.2.3 Критерии и анализ сходимости итерации для нелинейных систем узловых уравнений установившихся режимов
- •2.3 Решение уравнений узловых напряжений итерационными методами
- •2.3.1 Решение уравнений узловых напряжений в форме баланса токов
- •2.3.2 Обращенная форма уравнений узловых напряжений и их анализ
- •2.4 Применение метода Ньютона для решениядля нахождения корней уравнений установившихся режимов
- •2.4.1 Обоснование метода Ньютона для решения нелинейного уравнения
- •2.4.2 Применение метода Ньютона для систем нелинейных уравнений
- •2.4.3 Решение нелинейных узловых уравнений методом Ньютона.
- •III. Задание на курсовую работу
- •Содержание расчетно-пояснительной записки (перечень подлежащих разработке вопросов)
- •Перечень графического материала (в виде компьютерных рисунков в формате а4)
- •IV. Примеры для выполнения разделов курсовой работы
- •С бУоставляем граф-схему замещения электрической сети и нумеруем её ветви и узлы (ребра и вершины) в соответствии с принципом ярусности:
- •Составление элементарных матриц параметров режима [pу], параметров сети [dZв],[dYв] и матриц соединений [м] и [n].
- •Расчёт матрицы узловых проводимостей [Yy] и матрицы контурных сопротивлений [Zk].
- •Расчет режима электрической сети по узловым уравнениям путем обращения матрицы узловых проводимостей
- •Расчет режима электрической сети на основе линейных контурных уравнений
- •Решение нелинейных обращенных узловых уравнений с матрицей- методом простой итерации.
- •Пример расчета:
- •Пример расчета:
- •Заключение Литература
2.2.2 Факторы, влияющие на сходимость итерации для узловых уравнений установившихся режимов
Схемным фактором, влияющим на сходимость итерационного процесса, являются продольные и поперечные емкости линий сети с проводимостями yc, имеющими противоположные по отношению к индуктивным сопротивлениям ветвей хLзнаки (как и реактивные сопротивления).
(112)
Диагональный элемент
(113)
В схеме может не быть продольной емкостной компенсации (ПЕК) индуктивного сопротивления линии и шунтовой конденсаторной батареи (ШКБ).
Наличие поперечной емкостной ветви на землю способствует размаху колебаний напряжений в данном узле в итерационном процессе (если итерационный процесс для математической модели режима рассматривать как соответствующий переходный процесс при отклонении напряжений в узлах на U(0)в электрической сети). Тогда можно сказать, что итерационный процесс происходит пошаговым методом, где шаг соответствует одной итерации.
1) 2)
P-j(Q-Qкy) Iл
Ус12/2
Ui У12/
(I2Rл)
U
P-jQ
Емкости на землю имеются у всех ВЛ и КЛ. Они обеспечивают баланс реактивной мощности в системе и в целом благотворно влияют на режим электрической сети. Но созданные данными емкостными проводимостями мощности Qcзависят от квадрата напряженияQc= УсU2и по аналогии с ШКБ способствуют размаху колебаний напряжения на линии в ходе итерационного процесса. Соответственно, и при определении диагонального элемента матрицы, емкостная проводимость на землю способствует появлению соотношения (113). Для линейных систем узловых уравнений наличие емкостей – это тот основной схемный фактор, который ухудшает сходимость. В сетях электрических систем нагрузки задаются в мощностях. При этом соответствующие уравнения нелинейны, и возникают режимные факторы, ухудшающие сходимость.
2.2.3 Критерии и анализ сходимости итерации для нелинейных систем узловых уравнений установившихся режимов
Матричные нелинейные узловые уравнения в форме баланса токов в узлах
(114)
могут быть представлены в виде вектор‑функции небаланса F(U), которая обращается в 0 при подстановке в левую часть точного решения системы – вектора напряжений узлов [U].
В общем виде эти уравнения запишутся в виде
F(U) = 0 (115)
Обобщенная запись системы нелинейных уравнений.
F(X) = 0, (116) где
(117)
Нелинейная система (117) готовится к итерации в виде рекуррентного соотношения.
Х = (x), (118)
где ‑ оператор рекуррентного соотношения (или оператор нелинейного отображения). Вспомним: х =+х – для линейных систем
Критерии сходимости при решении системы нелинейных уравненийформируется не для матрицы постоянных коэффициентов системы уравнений(115-117), а для матрицы, составленной изчастных производныхот оператора нелинейных отображений(1,2,3…,n) по искомым переменным Х. Эта матрица состоит из элементови называется матрицей Якоби
(119)
Матрица частных производных [J] для частного случая линейных систем уравнений соответствует матрицесистемы, подготовленной к итерации. Поэтому критерии сходимости сформулированы аналогично теореме сходимости итераций для линейных систем уравнений: также можно сформулировать достаточные условия (по норме матрицы Якоби) и необходимые и достаточные условия (по наибольшим собственным значениям матрицы ЯкобиmaxJ).
Теорема: для сходимости итерационного процесса решения нелинейной системыF(х) =0 с помощью рекуррентного соотношения х =(х) необходимо и достаточно, чтобы на всей траектории итерационного процесса от начального приближения [х]0до решения [х]*выполнялось условие:
Это условие и есть необходимое и достаточное, а условие по норме матрицы Якоби
- достаточное условие сходимости.
Для проверки (анализа) влияния нелинейности уравнений на сходимость итерационного процесса, запишем рекуррентное соотношение типа (118) в виде (120)
U=(U) и возьмем частные производные для составления матрицы Якоби (119).
(120)
(121)
Сопоставляя матрицу Якоби, для которой анализируется сходимость нелинейной системы уравнений, с матрицей (линейной системы, подготовленной к итерации) замечаем, что отличие состоит в диагональном элементе: у матрицыii= 0, у матрицы Якоби
(122)
Анализ выражений (121), (122) показывает, что для слабо загруженных режимов с малыми нагрузками Piи большимyii(малым сопротивлением подходящих линий) влияние нелинейности на сходимость мало.
Напротив, при расчете тяжелых режимов Pi велико,Uiмало, влияние нелинейности на сходимость существенно, поэтому сходимость тяжелых режимов (режимов, близких к предельным по условиям статической устойчивости электрической системы) медленная.
Поэтому расходимость итерационного процесса (при правильно закодированных исходных данных) служит признаком нарушения статической устойчивости в рассчитываемом режиме.
Посмотрим количественно
Uн= 110 кВ
Рi=20 МВт
Рис. 6
Зададимся падением напряжения 10%Uном= 10 кВ.
Диагональный элемент матрицы Якоби в начальном приближении
Как видно, в ходе итерационного процесса диагональный элемент возрастает с 0,1 до 0,125. Для всей сложной схемы, когда таких диагональных элементов много, это может приблизитьmaxк 1, илиmax> 1, и степенной матричный ряд с таким основанием не сойдется.