Рівняння моментів. Закон збереження моменту імпульсу твердого тіла.

Використаємо динамічне рівняння обертального руху:

Так як ,

, I_z=const;

;

(4-6)

Одержаний вираз носить назву рівняння моментів:

Швидкість зміни кінетичного (обертального) моменту відносно деякої осі дорівнює результуючому моменту всіх зовнішніх сил відносно тієї ж осі обертання.

Розглянемо випадок, коли на тіло не діють зовнішні сили, або їх дія компенсується, тобто = 0.

Тоді

(4-7)

Останній вираз виражає закон збереження моменту імпульсу твердого тіла.

Вектор моменту імпульсу ізольованого тіла, (тіла, на яке не діють зовнішні сили або їх дія взаємокомпенсується) залишається незмінним в процесі обертального руху.

Використання для одержання швидкого обертання: фігурне ковзання, балет, акробатика(сальто «Морталльо»).

Демонстрація: лава Жуковського – демонстрація з гантелями і велосипедним колесом.

Кінематична енергія обертального руху

Розглянемо кінетичну енергію довільного елементу , твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі:

.

Кінетична енергія всього тіла:

,

де (– відстань від елемента до осі обертання).

,

(4-8)

Кінетична енергія обертального руху чисельно дорівнює половині добутку моменту інерції тіла на квадрат його кутової швидкості обертання.

Теорема Штейнера (про паралельні осі).

Момент інерції тіла відносно довільної осі дорівнює моменту інерції відносно осі, що паралельна даній та проходить через центр мас тіла, складеному з добутком маси тіла на квадрат відстані між осями.

Доведення:

Нехай тіло обертається з кутовою швидкістю навколо вісіОz не проходячи через центр мас (рис. 4.4). Тоді: ; обертання з кутовою швидкістюнавколо осіОz можна розглядати як два обертальних рухи з такою ж самою кутовою швидкістю .та проходить через центр мас та поступального руху зі швидкістюв напрямку перпендикулярному до осіОz.

Рис. 4.4.

Тоді:

; ;

;

Прирівнявши , отримуємо

(4-9)

Робота при обертальному русі

Нехай тверде тіло обертається навколо нерухомої осі OZ, а сила – результуюча сила, прикладена в т. М тіла, знаходиться на відстані r від осі обертання і направлена по дотичній до траєкторії точки М. При нескінченно малому повороті тіла на кут т.М при прикладанні сили зміститься на елементарну довжину дуги траєкторії dS.

Тоді елементарна робота сили F на елементарному шляху dS:

Повна робота при повороті тіла на кут :

(4-10)

При обертальному русі робота вимірюється добутком моменту сили на кут повороту. Встановимо взаємозв’язок між роботою і кінетичною енергією при обертальному русі:

(4-11)

Висновок: Зміна кінетичної енергії тіла при обертальному русі дорівнює роботі сил, момент яких надає тілу кутового прискорення.

Потужність при обертальному русі твердого тіла.

(4-12)

Потужність при обертальному русі АТТ визначається добутком моменту прикладених сил на кутову швидкість обертання.

Обертання твердого тіла навколо нерухомої точки і вільних осей. Елементи статики твердого тіла

Поняття вільних осей обертання головні осі і головні моменти інерції.

Теорія і практика показують, що для будь-якого твердого тіла існують три взаємно – перпендикулярних вільних осей, що перетинаються в центрі мас тіла.

Основна їх властивість полягає в тому, що момент інерції тіла відносно першої осі приймає максимальне значення відносно, другої – мінімальне, а відносно третьої проміжне значення. Ці три взаємно-перпендикулярні вільні осі, що мають таку властивість називаються головними осями інерції, а моменти інерції відносно цих головних осей називаються головними моментами інерції (рис. 4.5).

Рис. 4.5.

Теорія і досліди показують, що при відсутності зовнішніх дій стійке обертання тіло одержує навколо таких вільних осей, відносно яких момент інерції (найбільший або найменший) та приймає екстремальні значення. Обертання буде нестійким відносно осі, для якої момент інерції має проміжне значення.

Приклади і досліди з сірниковою коробкою

Обертання коробки відносно осі OZ і OY – стійке, а відносно OX – нестійке. Якщо на тіло, яке обертається, діють зовнішні сили, то стійким буде обертання відносно осі, з найбільшим моментом інерції.

Досліди з металевим стержнем і замкнутим ланцюжком. Якщо їх прикріпити до нитки і привести у швидке обертання то вони здійснюватимуть обертальний рух навколо вільних осей, відносно яких їхні моменти інерції найбільші.

Розглянуті досліди показують, що тіло приведене в обертальний рух зовнішніми силами відносно осі, що не співпадає з вільною віссю, «знаходить» цю вільну вісь обертання в процесі руху. Цю властивість вільних осей використовують в техніці машин, які швидко обертаються (турбіни, гвинти, ротори електричних машин і т.д.), де застосовують самоцентруючі вали. Крім цього, досліди показують, що відносно осі з найменшим моментом інерції легше всього створити обертання.

Приклади:

1. Падаюча кішка з будь-якого положення приземляється на лапи;

2. Акробат, що виконує сальто в повітрі, навпаки використовує обертання навколо осі з найбільшим моментом інерції. Таке обертання стійке і надійне.